確率の問題です。回答お願い致します。

確率の問題です。回答お願い致します。

「任意の4桁の数字を選び、その数字に関して、
ストレート(４桁の各数字と並びの順序が一致)や
ボックス(４桁の各数字が一致（並びの順序は問わない）)という当たり方がある、ナンバーズ4という宝くじに関して、巷で言われている、ある「理論」について考察してみよう。

それは、ナンバーズ4の達人と巷で騒がれている、
ミラクル・チャーリー氏が提唱する、「足す9理論」である。
これは、「4つの数字の中の2つは足して9になる数字を選ぶこと」らしい。
例えば「0935」の0+9=9、「3468」の3+6=9などが該当する。
なお、足して9になるペアを1つ作れば、他の2つの数字は何でも可とするらしい。
(つまり、0945のように、足して9になるペアが2つあってもよい。)

(1)
2秒で(つまり、直感で(※))、
以下の事象の確率を予想せよ。
(出題者の意図などを忖度せず、正直に答えること。)


(※)…直感については、
神永正博著
『直感を裏切る数学 「思い込み」にだまされない数学的思考法 (ブルーバックス)』
などを、この問題に取り組んだ後にでも参照することを薦める。まずは、この問題に取り組もう。






(制限時間:2秒)
------------------------------------------------------
「足す9理論」が当選番号に生じている確率
------------------------------------------------------


予想はどうだっただろうか？


実はこの「理論」、過去の抽選100回中49回の当選番号に出現している、つまり、出現率49%を誇る理論と巷では言われている。(2019年8月9日時点)

「高っ！」と思っただろうか。
それとも、「低くない？」だろうか。
いやいや、「そんなもんだろ。」だろうか。

どう思ったかは兎も角、
(2)へ進もう。


(2)
(1)で扱った事象の確率を、今度は直感ではなく、計算して求めよ。

(3)
(2)の結果を踏まえて、(1)での直感での予想との比較や、この「理論」の実績値について、
最新100回(5373回～5472回)の当選番号(下部に添付)も参照しつつ考察せよ。
特に、「足す9理論」を理論として、支持するor支持しないorどちらでもない、
のどの立場を取るか、その理由とともに明記すること。

最新100回(5373回～5472回)(後ろのほうが最新)の当選番号
→
2808.5857.1913.9958.9209.0978.4752.8713.8836.0335.
8687.9217.2207.1775.0425.0773.9447.5706.3983.4477.
4097.7214.5351.3012.6240.2973.5141.2598.4906.9561.
4717.4489.8864.7838.7034.1092.7573.2175.4803.4017.
2861.7072.5078.9836.0426.2402.2929.1429.8886.4893.
7278.8472.3775.0029.0828.1149.0491.3417.4430.2116.
9011.7471.6531.6845.2369.4996.3752.1598.7886.5859.
7709.4767.1447.2739.7732.8473.3036.0517.8183.3061.
8609.3730.0881.8475.9617.0722.8256.1944.8970.6754.
8139.7206.6079.4370.9421.1341.9147.0386.9856.7437(最新)」
という宿題が出されました。


私は以下のように考えました。

「(1)
20%くらい。(2秒の直感です。)

(2)
足して9になるペアは、
(0,9), (1,8), (2,7), (3,6), (4,5),
(9,0), (8,1), (7,2), (6,3), (5,4)
の10通り。
4桁の数字の1000の位に注目して、
例えば、0_ _ _という4桁を考えると、
(A)
残りの3桁には、9が少なくとも1つ含まれていれば、
足して9になるペアが少なくとも1つはできるので、
ここで、この余事象である、「残りの3桁には、9が1つも含まれない場合」を考えると、
各桁について、0～8から1つ選べばよく、9^3=729通り。
よって、0_ _ _という4桁の全事象である、10^3=1000通りから引くと、1000-729=271通り。

また、
(B)
残りの3桁に、9が1つも含まれなくとも、
上記の、足して9になるペアがあれば、「足す9理論」を満たすので、この場合を(A)とは別に考える。(∵互いに排反)

例えば、残りの3桁に(1,8)のペアが含まれる場合は、
018_ , 01_8 , 0_18 ,
081_ , 08_1 , 0_81
があり、_ には、重複を避けるため、
(b-1)
まず、0～8のうち、1と8は_ に入れずに数えて、つまり、7通りずつなので、7×6=42通り。
(b-2)
次に、_ に1と8が入る場合は、重複に注意すると、
(b-2-1)
0181のように、_ に1が入り、1が2つ現れるときは、
3！÷2！=3通り。(0181, 0118, 0811)
(b-2-2)
0188のように、_ に8が入り、8が2つ現れるときは、3！÷2！=3通り。(0188, 0818, 0881)


上記の(B)をまとめると、
42+3×2=48通りであり、
対称性より、他の、足して9になるペア((2,7), (3,6), (4,5))の場合も同様なので、48×4=192通り。


以上の(A), (B)より、
0_ _ _という4桁を考えるとき、「足す9理論」が生じるのは、
271+192=463通り。


他の4桁(1_ _ _ ～ 9_ _ _)に関しても、対称性から同様に計算できるので、「足す9理論」が生じるのは、463×10=4630通り。
全事象は、各桁について、0～9の10通りあることから、10^4=10000通り。
よって、求める確率は、4630/10000=463/1000
((4630÷10000)×100=46.3%)


(3)
(1)で、直感での予想をしたが、私は何となく20%くらいかなと思ったのだが、(2)の結果から考えると、直感では相当低く見積もってしまったと言える。半分近いとは…驚きだ。人間(自分？)の直感の頼りなさも感じてしまう。

他の結果についても考えてみると、
「足す10理論」と「足す8理論」だと4227通り、
「足す11理論」と「足す7理論」だと3752通り、
等と計算でき、これらの結果は、ペアの数を考えたら、当たり前の結果だと言える。
ペアの数が最大(最も多い)なのは、足して9のときのみで、10通り。次に多いのが、足して10のときと8のときで9通り。次が、足して11のときと7のときで、8通り。


次に、実績値について。
問題文より、2019年8月9日時点では、出現率49%を誇る理論と言われていたようだが、
最新100回(5373回～5472回)の当選番号を調べてみると、「足す9理論」は44回、
「足す10理論」は47回、「足す8理論」は40回、
「足す11理論」は46回、「足す7理論」は36回
という出現率になっており、
足す9よりもむしろ、足す10や足す11の方が、高い出現率であることが現実である。
(出現率49%を誇る理論と言われても、そもそも、確率論としては、46.3%の出現率と計算されるので、誇るほどの話でも何でもないといえる。やはり、人間の直感は確率には弱いのかもしれない。)

以上を総合的に判断して、
「足す9理論」を理論としてどう捉えるかに関しては、
現段階では、どちらでもない(支持も不支持もしない)、
という立場を取ることにする。

理由は、ミラクル・チャーリー氏が、どのようなスタンスで発表しているのかによって、理論の捉え方が変わってしまうからだ。
確かに確率の計算としては、足して9になる場合が最も起きやすい。だから、彼が、確率論として「足す9理論」を提唱しているのならば、それは確かに、確率論という理論だと言えるだろう。
しかし逆に、彼が単に「最近、2つの数字を足して9になることが多いかもな」ということだけ(単なる最近のデータだけ)で、「足す9理論」とカッコ良く名前だけ付けて発表しているのだとすれば、それは理論ではなく、強いて名前を付けるならば、「足す9経験則」くらいが妥当だろうし、このスタンスの場合は、(確率論とは違い、)あまり当てにはならないだろう。実際、最新のデータでは、足す10や足す11の方が多いくらいであるし、一昔前は「足す10理論」が有名だったらしく、「理論」が一定しないのは何とも皮肉な気がする。


P.S.
彼の、2020.06.27 14:40の「足す９理論・恐るべし！」という題名のアメブロ内で、


「以前は足す１０理論が最強だと思っていましたが今は足す９理論だと確信しております。」


と記述しているくらいなので、経験則の方なのでしょう。
この場合、理論としては不支持の立場になります。」




特に(2)で漏れや重複などがないか心配です。

また、もっと簡単な別解などありますか？

回答のほど宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/09 01:11

(2) の計算には同意します。

私は、(1) 60%弱 かな？ と思ったので、(2) はかなり少ない印象です。
２個の数字が足して 9 になる確率は 10/100、
４桁の数字には2個の数字が 4C2 組あるので (1/10)×6、
独立でもないだろうからそれより少し少ないという見積もりだったのですが、
６組は独立から大きくズレているのですね。
(2) の 46.3% に対して (3) の 44% は、ひょっとしたら真に恐るべきもの
かもしれません。100 回の抽選が独立だとして、単回確率 46.3% の事象が
100 回中 44 回以下しか起こらない確率は、(二項分布ですが)正規分布で
近似して計算すると(参考 https://mathtrain.jp/normalkinji ) 約 32%、
ある程度珍しいことが実際に起こっていると言えます。
100 回ではサンプルが少ないので、もう少し大規模に調べる必要はありますが、
(3) の 44% を信じるなら、足して 9 にならないような 4 桁を選んで買う
ことに意味がありそうな気がしないでもありません。「足して9じゃない理論」とか？