論理回路、ド・モルガンについて

次の論理式の相対論理式を加法標準形・乗法標準形で表すと

(X+yZ)(y+Zx)


加法＝X(y+Z)+y(Z+x)

乗法＝(x+Y)(x+z)(Y+z)(X+Y)

となりますか？

ちなみに、x,y,zはX,Y,Zにバーがかかっているものとして表示しています

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2016/10/28 06:31

括弧が残ってたら加法標準形ではありません。

加法標準形にするには、まず分配則を使ってA(B+C)をAB+ACへ、および(A+B)CをAC+BCへと、徹底的に展開します。普通の数のかけ算・足し算で「かっこを外す」のと全く同じ事です。
　　(X+yZ)(y+Zx) = X(y+Zx)+yZ(y+Zx) = Xy+XZx+yZy+yZZx
んでもって　Aa=0, aA=0, 0A=0, A0=0, 1A=A, A1=A, AA=Aを使って整理。
　　 Xy+yZ+yZx

乗法標準形にするにも、まず分配則を使ってA+BCを(A+B)(A+C)へ、およびAB+Cを(A+C)(B+C)へと、徹底的に展開します。んでもって(a+A)=1, (A+a)=1, (1+A) =1, (A+1)=1, (0+A)=A, (A+0)=A, (A+A)=Aを使って整理。

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/10/28 06:34

＞～となりますか？

なりません。（これは即答）

・・・解説・・・
んー。
「X」「Y」「Z」の否定表示は一般的に、
「X'」「Y'」「Z'」と示すんですけど、質問者さんに合わせてみます。

　(X+yZ)(y+Zx)
=y(X+yZ)+xZ(X+yZ)
=Xy+yYZ+xXZ+yZ
　相補則により
=Xy+yZ
　まとめると
＝y(X+Z)

こーなるはずです。

ここから加法や乗法への置き換えは計算が面倒（できないことは無いが、記述を追う事すら億劫になり理解に至らないと思う）なので、
入力が3つと少ないことからカルノー図（真理値表）を先の式から作り、
加法は「結果」が「1」の入力について、入力が「1」ならばそのまま、入力が「0」ならば否定の項にした積の式を導き出し、その式の和を取る。
乗法は「結果」が「0」の入力について、入力が「0」ならばそのまま、入力が「1」ならば否定の項にした和の式を導き出し、その式の積を取る。

XYZ / 結果 / 乗法　 /　 加法
000 /　0　/ X+Y+Z
001 /　1　/ 　　 　/ 　xyZ
010 /　0　/ X+y+Z
011 /　0　/ X+y+z
100 /　1　/ 　　 　/ 　Xyz
101 /　1　/ 　　 　/ 　XyZ
110 /　0　/ x+y+Z
111 /　0　/ x+y+z

従って、
加法標準型
　xyZ+Xyz+XyZ
乗法標準型
　(X+Y+Z)(X+y+Z)(X+y+z)( x+y+Z)(x+y+z)

…のように解く。


・・・余談・・・
ブール代数は慣れないと確実にハマります。
式を見て分からなくなったら下のような図をいくつか描いて、色を塗りながら考えると良い。
入力が4以上になると使えなくなるけど、まずはこのような基本的なイメージをできるようにしておくと間違えを起こさずに解くことができる。

また「X」「ｘ」の記述を「X」「X'」のようにするとド・モルガンさんの理論を記述しやすくなるんですけどね。
A+B＝(A'・B')' みたいにね。（和を積に置き換える時は、項だけでなく式全体も反転させる…これがあるから冒頭の「即答」なんです）

No.3 回答者： kmee 回答日時： 2016/10/28 06:57

なりません。

そもそも標準形になっていません。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2016/10/28 07:12

追記。

> 加法＝X(y+Z)+y(Z+x)

この式は、元と双対な論理式になっています。
そこまでは正解です。
この後、式を変形して(あるいは、真理値表を使って)標準形にします。

「双対」は「そうつい」と読みます。
「そうたい」ではありません。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9476733.html