8個の約数を持つ自然数の中で最も小さい数を求めなさい。 って問題なんですが、、、 調べて教えてもらっ

8個の約数を持つ自然数の中で最も小さい数を求めなさい。
って問題なんですが、、、
調べて教えてもらってるの読んでもイマイチで、めっちゃバカなんでゆっくり教えてください

No.4 回答者： wiz0621 回答日時： 2017/02/09 21:13

まず、前おきです。

何かしらの約数を持った数字は、

n=2x2x2x3x3x3x7x7x11x11・・・・のように
素数の組み合わせですよね。

これをより単純に書くと、

n=2^a　x　3^b　x　5^c　x　7^d x・・・・
とあらわすことができるわけです。（^aはa乗の意味です。）


例えとして、12の約数は (1,2,3,4,6,12)
12=2^2 x3^1
とあらわすことができますよね。

言い換えれば
2を0個、1個、２個
3を0個、1個
どれかの組み合わせを使って掛け算をすれば、
１２という数字ができるわけです。



では、このときの約数の個数は？
0乗（つまり1)の場合も約数となりうるので、
素数のa乗のものと素数のb乗のものを組みあわせた
約数の個数は常に（a+1)x(b+1)個となります。

１２の場合は　(2+1)x(1+1)=6個の約数があるわけですね。
1,2,3,4,6,12の6個です。

同じように2のa乗と3のb乗と5のｃ乗の組み合わせであれば
(a+1)(b+1)(c+1)個の約数が存在するわけです。


この”約数の個数”の考え方、x乗+1を何回かかけたものが
個数となる点が今回のキモです。

ここまで前置きです。大丈夫でしょうか？
だめだったら最初から読み直してみてください。
良ければ本題に入ります。





では本題。
今回、約数は8個なのですから、求める数をnとすると

n=2^ax3^bx5^cx7^dx・・・・

つまり
(a+1)x(b+1)x(c+1)x・・・・・＝８（＝2^3)となります。
a、ｂ、ｃが正の整数の場合、掛け算の答えが8になるケースは
1x8、2x4、2x2x2の３通りしかありません。（掛け算できる数は３つまで、a,b,cまででdはない、となります。）
これを満たすa,b,cの組み合わせは

①1x8の場合
(a+1)=8、(b+1)=1
a=7 、b=0
よって
n=2^7=128 (約数は1,2,4,8,16,32,64,128の８個)


②2x4の場合
(a+1)=4、(b+1)=2
a=3、b=1
よって
n=2^3x3^1=24 (約数は1,2,3,4,6,8,12,24の８個)

または
(a+1)=2、(b+1)=4
a=1、b=3
よって
n=2^1+3^3=54 (約数は1,2,3,6,9,18,27,54の８個）


③2x2x2の場合
(a+1)=2、(b+1)=2、(c+1)=2
a=1、b=1、c=1
よって
n=2^1x3^1x5^1=30 (約数は1,2,3,5,6,10,15,30の８個)

の4パターンのみです。


４パターンのうち、最小となるこたえは　２４

ですよね？

No.3 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/07 15:17

８個の約数を持つ自然数 n は、いくつかの数の積によって表されるから、

　　n = p1 x p2 x ... x pi x ... x pk
と表されます(x は掛け算の記号）。ここで、各 pi は、素数とします。
このとき、n の約数になるのは、各 pi だけではなく、それらのうちにいくつかを掛け合わせたものも約数になります（これが重要なところ、キモ、です）。ただし、１は約数ではないが、n 自身は約数であるものとする。

すべての pi が異なる場合、約数の数 m は、
　　m = kC1 + kC2 + kC3 + ... + kCk = 2^k - 1
　　　（kCj はｋ個のものからｊ個を選ぶ組み合わせの数を表す）
で表されます。これが、８になるような k を求めるために、ｋ を小さい方から調べていくと、
　　k = 1　のとき、m = 1
　　k = 2　のとき、m = 3
　　k = 3　のとき、m = 7
　　k = 4　のとき、m = 15
となって、丁度８になるものがないことが分かります（k = 3 のときは、８より少なく、k = 4 になると８を越えてしまいました）。
このことから、いくつかの pi は、等しくなければならないことが分かる。

すべての pi が、１つの素数 p であるとき、すなわち、
　　n = p^k
の場合、n の約数は、すべて p^j の形をしているから、約数の個数 m は、
　　m = k
となる。これが、８になるから、k = 8 である。このとき、n が最も小さくなるためには、p が最も小さければよい。p は、素数であるから、最小の素数２としたときに、n が最小になり、n = 2^8 = 256 となる。

次に、２つの素数、p, p' がそれぞれ、j, j' 個ずつあるとき、すなわち、
　　n = p^j x p'^j'
の場合、n の約数は、p^t x p'^t' の形をしている（ただし、t, t' の両方ともが、０になることはない）から、約数の個数は、p を t 個もつ場合、p' の個数は、t' 通りとなる。これを、t = 0 から、jまで加えれば良いから、
　　m = (j + 1)(j' + 1) - 1 （j = j' = 0 の場合を除く）
この値が、８になるのは、j, j' が、１と４，２と２の場合である。
このとき、２つの素数は、小さい方からえらぶべきであるから、２と３となる。j, j' が、１と４の場合、2^4 x 3^1 < 2^1 x 3^4 より、n = 2^4 x 3^1 。２と２の場合、n = 2^2 x 3^2 。この２つを比較して、
　　n = 36
が得られる。

この後、素数３個以上の場合について、選ぶ素数は、２，３，５，７ ...の順となるから、n は, 2 x 3 x 5 = 30 以上になるが、このとき、約数の数が７である（前の場合の結果）から、少なくとも、１つの素数は、２個以上なければならない。しかし、そうすると、ｎ は、重複するものが２であるときでも、６０となるから、６０以上になる。上の結果と比較して、今場合は、最小の条件を満たさない。

以上のことから、約数を８個持つ最小の自然数は、３６ である。

ーーーー
思いのほか、難しい問題でした。私には思いつきませんでしたが、もっと簡単にできるのかもしれません。
実際のところ、約数の個数が８と小さいですから、自然数を小さい方から、調べていく方が、簡単なようです（約数の数が大きいときは、ちょっと無理ですが）。

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/02/07 15:06

どのレベルで説明しなければならないのか判断できませんので、バカには理解できないかもしれませんが一通り説明してみます。

4の約数は2
これは4が2×2であるからです。
10の約数は2と5
これは10が2×5だからです。
このとき、掛け算の式に使われる数字は素数になります。

てことは、素数を小さい順に8つ選んで掛け合わせればいい。
2×3×5×…
さあ、素数を数えるんだ。

※素数ってナニ？・・・というなら素直に諦めよう。
　その問題は無かったことにしなさい。
　諦めきれないなら「素数」が何なのかを自分で調べてみよう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/07 12:34

その「読んでもイマイチ」ってのは, どのような文章を読んでどの辺が「イマイチ」なんだ?