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負の数×負の数の計算結果は必ず正の数になりますが、この理由はなんなんでしょうか?証明できる方いませんか?マイナスにマイナスをかけるとプラスになるのはわかるのですが、その理由がわかりません。

gooドクター

A 回答 (10件)

例えば(-1)×(-1)を考えると



 (-1)×(-1)=(-1)×(-1)+0

 ここで(-1)+1=0より 上記式の右辺は

 =(-1)×(-1)+(-1)+1
 分配法則A×B+C×B=(A+C)×Bより
 上記式は

 =〔(-1)+1〕×(-1)+1
 ここで(-1)+1=0なので

 =0×(-1)+1  0×(-1)=0だから
 =0+1=1

 つまり(-1)×(-1)=1となる。

 一般的には文字を使って上記のようなことをやれば証明はできます。技巧的のようもしますが。
 

  

 
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わたしはまったくの素人ですし,また本質的に同じことを既に他の方が書いて居られるかもしれませんが,書かせていただきます。


いま -aと -bをかけたものを xとします。
(-a)*(-b)=xとなります。 -bを右辺に移行すると
-a=x/(-b)となりますが、両辺を-1 で割ると
a=x/bとなり、bを左辺に戻せばxはabであるということになります。つまり-aと-bをかけたものはabとなります。わたしには-1で割るというところが何か意味がありそうに思っています。ご参考になれば幸いです。
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たとえば(-2)×5=-10


これは分かりますよね。
(-2)×4=-8
(-2)×3=-6
というふうにかける数を1減らすと2ずつ増えていきます。
(-2)×2=-4
(-2)×1=-2
(-2)×0=0
このあとかける数をひとつ減らして
(-2)×(-1)とすると
0より2大きい数にならないとつじつまが合いません。
ということで、
(-2)×(-1)=2
(-2)×(-2)=4という風になっていきます。
どうでしょうか。
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No.7のBO-BO-keshiです。

一つ追加したいことがあります。
質問者のyusuke19820421さんは
>証明できる方いませんか?
と質問されていますが、kukinekoさんがNo.5でおっしゃっている事でもありますが、私もマイナス×マイナス=プラスというのはかけ算の定義の一部だと思いますので、No.7で申し上げたことはあくまで証明ではなく、「そう考えられるようになった理由」です。
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こんにちは!


数字の四則演算を含む全ての仕組みは、現実的な事柄に基づいて意味づけされるべきだと思います。マイナスにマイナスをかけるとプラスになると最初に決めた人も、何か現実的な事実に基づいて考えた上でそう決めたはずではないでしょうか?

マイナス×マイナス=プラスとしたら便利な現実的例として、数直線上を早さ20[/s]で負の方向に向かって走り続けてる人がいる事を考えるのはどうでしょう。この人の速度は-20[/s]と言って良いでしょう。この人が原点を通過した時刻を0とすると、10秒後、つまり時刻10の時の位置は
-20×10=-200
とかけ算で表すことが出来ます。
そこで10秒前、つまり時刻-10の時の位置である200も、
-20×-10=200
とかけ算で表せたら便利です。
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乗法の加法に対する (右・左) 分配則を認めれば (負の数) × (負の数) = (正の数) となります.

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任意の数a,bに対して



(-a)*(-b)=(-a)*(-b)+(-ab+ab)
=(-a)*(-b)+(-a)*b+ab
=(-a)*(-b+b)+ab
=ab

と言う事ですか?!

でも、-×-=+って言うのは公式では無く定義ですよね??

だったら、証明うんぬんでなくて、「そういう決まり!!」ちゃんちゃん♪では無いのでしょうか^^;
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過去ログを見てください。



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1327574
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証明ではないですが。


-5×3=-15 -5×2=-10 -5×1=-5
-5×0=0
ここまではこれでいいですね。
そして
-5×-1=5 -5×-2=10 となっていきます。
ちゃんと5ずつ増えていっているでしょう。
なんとなくわかった気がしませんか?
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例えば、



マイナス | プラス
      |○○

掛け算というのは●が○個あったらいくつか?
という計算だから、
上の図の-1倍は

マイナス | プラス
    ○○|

となる。○○が-1個あったらこうなります。
で、これが-1個あったら最初の図です。

つまり、プラスの立場から見れば右側が正になるが、マイナスの立場から見ると自分が向いている方、つまりプラス側から見たときの負が自分にとっての正になります。
そのマイナスから見たときの正にマイナスを掛ければ
さっきの図のように反転します。

こんなややこしい説明でわかるかなぁ。
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