ロケットの問題です、解けてるか不安なので誰か教えて下さい

ロケットの問題です、解けてるか不安なので誰か教えて下さい

質問者からの補足コメント

• 解法を教えて下さい

    補足日時：2018/10/22 20:20

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/23 12:42

No.4 です。

運動量保存から、微分方程式を作ります。
ある時刻 t に、質量 M(t) のロケットが、速さ V(t) で飛んでいるとして、微小時間 Δt 後の運動量は、Δt の間に噴射する燃料の質量を ΔM(ロケット本体の質量変化と考えるので ΔM<0)、燃料噴射の相対速度を u として
　M*V = (M + ΔM)*V(t + Δt) + (-ΔM)*(V - u)　　　　①
と書けます。

V(t + Δt) = V(t) + ΔV
と書くと、①は
　M*V = (M + ΔM)*(V + ΔV) + (-ΔM)*(V - u)
→　M*V = M*V + M*ΔV + ΔM*V + ΔM*ΔV - ΔM*V + ΔM*u
→　M*ΔV + ΔM*ΔV + ΔM*u = 0
微小変化の二次項 ΔM*ΔV << 1 として省略すると
　　M*ΔV + ΔM*u = 0
→　ΔV/ΔM = -u/M

Δを微小量の極限として d で表わせば
　　dV/dM = -u/M
これがロケットの運動の微分方程式です。

これは変数分離で簡単に解けて
　∫dV = -u * ∫(1/M)dM
→　V = -u * ln(M) + C　（C は積分定数）　　　②

初期条件 V(0) = 0 より
　　C = u * ln(M(0)) = u * ln(Mi)
よって
　　V(t) = -u * ln(M(t)) + u * ln(Mi) = u * ln(Mi/M(t))　　　③

これが、いわゆる「ロケット方程式（ツィオルコフスキーの式）」ですね。

(1) 推力を求めるには、速度が分かっているので、これを微分して「加速度」を求めればよいです。
　③を微分して
　　a = dV/dt = -u/M(t) * dM/dt
ここで、燃料の消費は
　　-dM/dt = 1.0 [ton/s] = 1.0 * 10^3 [kg/s]
相対速度は
　　u = 2.4 [km/s] = 2.4 * 10^3 [m/s]
なので
　　a = 2.4 * 10^6 /M(t) [m/s^2]　　　　　　　　　　　④

一方、推進力 F [N] は、運動方程式 F = M(t)*a より
　　F = 2.4 * 10^6 [N]　　　　　　　　　　　　　　　　⑤
となります。

あるいは、これは「力積」からも求められます。「力積 = 運動量の変化」ですから、「燃料が噴射される運動量変化 = ロケットが得る運動量変化」が「力積」に等しいので、Δt=1 [s] に対して
　　F*Δt = 1.0 * 10^3 [kg] * 2.4 * 10^3 [m/s] = 2.4 * 10^6 [kg･m/s]
より
　　F = 2.4 * 10^6 [kg･m/s] / Δt [s] = 2.4 * 10^6 [kg･m/s^2] = 2.4 * 10^6 [N]

「推進力」を「何トンか」と聞かれても、物理的には答えようがないので、これを「トン重 : ton･f = 10^3 kgf」と解釈すると、
　　1 [kgf] = 1 [kg] * 9.8 [m^s^2] = 9.8 [N]
なので
　　F = 2.4 * 10^6 [N] ≒ 2.45 * 10^5 [kgf] = 2.45 * 10^2 [ton･f] = 245 [ton･f]　　　⑥

つまり、重力の働く地上で「245 ton」の質量（重量）を持ち上げる力ということです。
ロケットは 120 ton なので、これなら (4) は、とりあえず「上に向けて進む」ということですね。

(2) これは算数の問題ですね。はじめ：120 ton、最終：30 ton、毎秒 1.0 ton なのだから
　　(120 - 30)[ton] / 1.0[ton/s] = 90 [s]

(3) 最終速度は③式から
　　V(t) = 2.4 * 10^3 [m/s] * ln(120/30) = 2.4 * 10^3 + 2ln(2) ≒ 3.33 + 10^3 [m/s] = 3.33 [km/s]

(4) 上の(1)にも書いたように、⑤⑥の推進力が地上での重力よりも大きいので、ロケットは重力に打ち勝って上に進みます。
　これは、④の加速度の初期値が M(0) = 120 * 10^3 [kg] なので
　　a0 = 2.4 * 10^6 / (120 * 10^3) = 20 [m/s^2]
で、重力加速度よりも大きいことからも判定できます。（ロケット本体は燃料噴射により時間とともに軽くなっていくので、一定の推進力ならロケット本体の加速度は時間とともに大きくなる）

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます

お礼日時：2018/10/23 16:30

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/23 00:57

＞解法を教えて下さい

宇宙空間で、重力も何もないのだから、外部からの力は働かず、「ロケット本体」と「燃料」の重心は動きません。つまり「ロケット本体」と「燃料」の全体の運動量が保存します。これを使って解きます。
もちろん、ロケット本体の質量は時々刻々変わっていくので、微分方程式を解くことになりますが。

(4) には「重力」がかかるので、上で求めた「加速度」が重力加速度を上回るか、ということで判定します。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/10/23 07:47

No.3 回答者： hdkshfickdjsh 回答日時： 2018/10/22 20:43

まぁ、自分頭いいから、1番難しい最後の問いに答えると、飛び立てない

No.2 回答者： head1192 回答日時： 2018/10/22 20:00

すっ！ごーい！！

どう読んだって問題文じゃん！！！

No.1 回答者： hdkshfickdjsh 回答日時： 2018/10/22 17:48

きゃー！難しいですね〜

頑張れー