下の図において、直線ABは円O、O'に、 それぞれA、Bで接している。円Oの半径が5、 円O'の半径

下の図において、直線ABは円O、O'に、
それぞれA、Bで接している。円Oの半径が5、
円O'の半径が2であるとき、線分ABの長さを求めよ。
(1)と(2)が分かりません。教えてください。

No.1 回答者： ほぼ毎日 回答日時： 2018/11/18 11:40

(1)6√2

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/18 12:59

上段:図のように延長線を考えてその交点をPとすると

△PAO∽△PBO'
（半径と接線は垂直だから。2角相当で相似）
PO'=tとすれば
PO:PO'=AO:BO'=5:2
→(9+t):t=5:2
⇔5t=2(9+t)
ｔ＝６
△BO'Pにピタゴラス定理適用
PB²=ｔ²-BO'²=36-4=32
PB=４√2
AP:BP=AO:BO'=5:2より
AP=5BP/2=10√2
∴AB=AP-BP=10√2-4√2=6√2

下段：
図のようにABとOO'の交点をPとすると
△AOP∽△BO'P
（接線と半径は直角、対頂角は等しい→2角相当）
よってOP:O'P=AO:BO'=5:2
PはOO'を5:2の比に内分するから
OP=9x{5/(5+2}=45/7

△AOPは直角三角形だから三平方の定理より
AP²+AO²=OP²
AP²=(45/7)²-5²=(45²ｰ35²)/7²=(45+35)(45-35)/49=800/49
AP=20√2/7
AP:BP=AO:BO'=5:2から
BP=(2/5)AP=(2/5)x(20√2/7)=8√2/7
∴AB=AP+BP=28√2/7=4√7