質問です。剛体の原点周りの慣性テンソルを求めよ。ただし、質量Mで、密度は一様とする。 半径R、長さh

質問です。剛体の原点周りの慣性テンソルを求めよ。ただし、質量Mで、密度は一様とする。
半径R、長さhの円柱。x^2+y^2≦R^2,0≦z≦h
お願いします。

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/04/02 16:02

原点の回りのＩだから、素直に定義通りに計算するのが良い。

慣性テンソルの各成分は
Iｘx = ∫ (y ² + z² ) ρ d V , I y y = ∫(x² +z²)ρ d V , I z z =∫(x²+y²)ρd V
I x y = I y x = − ∫ x y ρ d V , I y z = I z y = − ∫ y z ρ d V ,
I z x = I x z = − ∫ z x ρ d V
dVの体積要素は円筒座標を使って、dV＝ｒdrdθdz
積分範囲は　r=0~R，θ＝０~2π，z＝０~ｈ
x=rcosθ，y=rsinθを使って計算すると
Ｉｘx = ∫ (y ² + z² ) ρ d V =ρ ∫ (ｒ²sin²θ + z² )ｒdrdθdz
=ρ∫ｒ³drdz((1－cos2θ)/2)dθ+ρ∫z²dzrdrdθ
=ρ(R⁴/4)hπ+ρ(h³/3)(R²/2)2π=πρ(R⁴h/4+R²h³/3)
I y y = ∫(x² +z²)ρ d V =ρ ∫ (ｒ²cos²θ + z² ) r²
=ρ∫ｒ³drdz((1+cos2θ)/2)dθ+ρ∫z²dzrdrdθ
=ρ(R⁴/4)hπ+ρ(h³/3)(R²/2)2π=πρ(R⁴h/4+R²h³/3)
I z z =∫(x²+y²)ρd V =ρ∫r²rdrdθdz=ρ∫r³drdθdz=ρ∫r³drdθdz
=ρ(R⁴/4)2πh=πρR⁴h/2
Ixy=Iyx=−∫xyρdV=−∫r²cosθsinθρrdrdθdz
= −ρ∫r³(1/2)sin2θdrdθdz= −ρ(R⁴/4)･0･h=0
Iyz=Izy=−∫yzρd V=−ρ∫rsinθrdrdθdz
=−ρ∫r²drsinθdθdz=−ρ(r³/3)･0･h=0
Izx=Ixz=−∫zxρdV=−ρ∫rcosθz rdrdθdz
=−ρ∫r²drcosθdθzdz=−ρ(r³/3)･0･h=0
密度ρ=Ｍ/体積=Ｍ/(πＲ²h)を入れると
Ixx = I y y =πρ(R⁴h/4+R²h³/3)
=πＭ/(πＲ²h)(R⁴h/4+R²h³/3)=Ｍ(R²/4+ h²/3)
I z z =πρR⁴h/2=πＭ/(πＲ²h)R⁴h/2
=ＭＲ²/2
Ixy=Iyx=Izx=Ixz=Iyz=Izy=0
以上より
Ixx = I y y =Ｍ(R²/4+ h²/3)
I z z =ＭＲ²/2
Ixy=Iyx=Izx=Ixz=Iyz=Izy=0

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/27 01:04

>楽をするヒントとして

もうひとつ。原点が重心でない場合は、重心に対する慣性テンソルを求め
変換すると楽。

所謂「平行軸の定理」のテンソル版が有るので、教科書を良く読んで
確認しておこう。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/03/26 21:47

定義に従って機械的に積分するだけなんだから自分でやろう。

楽をするヒントとして
z軸は円柱の中心軸を、xとy軸は重心を通りz軸と直交するように決めるのが楽。
#そもそも座標を決めないと慣性テンソルは求まらない。
積分では円柱の対称性と奇関数の積分が0になることを利用すれば
慣性乗積が0になることが簡単に解るので、慣性主軸の計算に
集中すればよい。