K郎(K∈{1,2,3,4,...})

問題
K郎(K∈{1,2,3,4,...}) は毎日、家の前から学校の前まで
バスに乗って１０分かかって通学しています。ある日、バスが途中で故障したので、そこから歩いたら、いつもよりK*10分多くかかりました。歩く速さはバスの速さの(1/5)*Kでした。この日、K郎が歩いた時間は何分だったでしょうか。（次年度 KARA 武蔵中）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%BC%A9%E8%A1%8C …

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/21 14:26

大人が普通に解くと、二次不等式の問題です。

中学入試のようですから、算数でやってみましょうか。

K郎の歩く速さはバスのK/5倍なので、同じ道のりを歩くと5/K倍の時間がかかります。
５/K倍かかっていつもより10K分長かったのだから、(5/K)-1倍が10×K分だということです。
この日K郎が歩いた時間は、いつもバスで10×K÷((5/K)-1)分かかっていたと判ります。
この時間が、いつものバスの10分の一部なのだから、10×K÷((5/K)-1)<10でないといけません。
ところで、一部を歩くといつもより長くかかるということは、K郎の速さはK/5<1です。
下の式を満たすK=1,2,3,4を上の式に入れてみると、成立するのはK=1の場合だけでした。
話題のK郎は１郎で、バスが動かなかった時間は10×1÷((5/1)-1)=2.5分ということになります。
この道のりを１郎が歩けば2.5×５/1=12.5分かかります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/04/21 11:51

K郎が歩いた時間をx(分)

とすると
歩く速さは(1/5)Kb(m/分)
10b=d
bf+Kbx/5=d
b(f+Kx/5)=d
f+Kx/5=d/b=10
f+Kx/5=10
f=10-Kx/5
いつもより10K分多くかかったのだから
f+x=10+10K
↓f=10-Kx/5だから
10-Kx/5+x=10+10K
x-Kx/5=10K
x(1-K/5)=10K
x(5-K)=50K
x=50K/(5-K)

f+50K/(5-K)=10+10K
f=10+10K-50K/(5-K)
f=10{K+1-5K/(5-K)}
f=10{(K+1)(5-K)-5K}/(5-K)
f=10(5-K-K^2)/(5-K)>0
5-K>0
5-K-K^2>0
K^2+K-5<0
(K+1/2)^2-21/4<0
{K+(1+√21)/2}{K+(1-√21)/2}<0
0<K<(-1+√21)/2<1.8
∴
K=1
x=50K/(5-K)=50/4=12.5分
K郎=1郎が歩いた時間は
12.5分