こんにちは。 過度応答の問題です 問3を教えてほしいです

こんにちは。
過度応答の問題です
問3を教えてほしいです

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/21 15:02

複素数を使った「インピーダンス」の方が何かと便利なのですが、ここでは「リアクタンス」を使えとのご指定ですね。

「リアクタンス」は扱いなれておらず嫌いです。

問１：Xab = ωx - 1/ωy　　　　　①
Xbc = ωy*(-1/ωx)/(ωy - 1/ωx) = -(ωy)/(ω^2･xy - 1)　　　②

Xab = f(ω) = ωx - 1/ωy
とすると、ω≠0 であり、ω > 0 の範囲で
(a1) ω→+0 で f(ω)→-∞
(a2) ω→+∞ で f(ω)→+∞
(a3) f(ω) = 0 となるのは、
　ωx - 1/ωy = 0
→　ω^2 = 1/xy
→　ω = √(1/xy)
(a4) f'(ω) = x + 1/yω^2 > 0
　なので単調増加。
(a5) f''(ω) = -2/yω^3 < 0
　なのでωの増加とともに曲線は寝てくる。

Vcd = g(ω) = -(ωy)/(ω^2･xy - 1)
とすると、ω ≧ 0 の範囲で
(b1) ω^2･xy ≠ 1 つまり ω ≠ √(1/xy)
(b2) ω = 0 で g(0) = 0
(b3) ω^2･xy - 1 > 0 つまり ω > √(1/xy) で g(ω) < 0
(b4) ω^2･xy - 1 < 0 つまり ω < √(1/xy) で g(ω) > 0
(b5) ω→√(1/xy) - 0 で g(ω)→+∞
(b6) ω→√(1/xy) + 0 で g(ω)→-∞
(b7) ω→+∞ で g(ω)→0
(b8) g'(ω) = -y/(ω^2･xy - 1) + (2ω^2･xy^2)/(ω^2･xy - 1)^2
　　　　　　= (ω^2･xy^2 + y)/(ω^2･xy - 1)^2 > 0
　なので単調増加。

このぐらいで、おおよそのグラフは描けるかな？

　
問２：問１の①②から
　X = Xab + Xcd = ωx - 1/ωy - (ωy)/(ω^2･xy - 1)
　　= (ω^2･xy - 1)/ωy - (ωy)/(ω^2･xy - 1)　　　　　　　③
　
問３：③は、問１でグラフを検討した結果から、ω > 0 の範囲で
(c1) ω≠0, ω ≠ √(1/xy)
(c2) ω→+0 で X(ω)→-∞
(c3) ω→√(1/xy) - 0 で X(ω)→+∞
(c4) ω→√(1/xy) + 0 で X(ω)→-∞
(c5) ω→+∞ で X(ω)→+∞

X(ω) = 0 のときに I が最大になるが、上記「増減表」から X(ω) = 0 となる ω が「2つ」存在する。
（0<ω<√(1/xy) に１つ、√(1/xy)<ω<+∞ に１つ）

それは③より
　(ω^2･xy - 1)/ωy - (ωy)/(ω^2･xy - 1) = 0
を満たす ω ということになる。
つまり
　ω^2･xy - 1 = ±ωy

0<ω<√(1/xy) のとき、ω^2･xy - 1 < 0 なので
　ω^2･xy - 1 = -ωy
→　ω^2･xy + ωy - 1 = 0
この一般解は
　ω = [ -y ± √(y^2 + 4xy) ]/2xy
x>0, y>0 であるから、ω>0 となるのは
　ω = [ -y + √(y^2 + 4xy) ]/2xy
　　= -1/2x + √[(1/2x)^2 + 1/xy]

√(1/xy)<ω のとき、ω^2･xy - 1 > 0 なので
　ω^2･xy - 1 = ωy
→　ω^2･xy - ωy - 1 = 0
この一般解は
　ω = [ y ± √(y^2 + 4xy) ]/2xy
x>0, y>0 であるから、ω>0 となるのは
　ω = [ y + √(y^2 + 4xy) ]/2xy
　　= 1/2x + √[(1/2x)^2 + 1/xy]


いろいろと式が面倒なので、計算違いがあるかもしれません。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/06/23 21:01

どこが「過渡応答」?