数学・三角比の質問

0≦θ＜2πのとき、cosθ=0の方程式を解け。また、その一般解を求めよ。
という問題の解答解説をお願いします。特に、一般解の部分がわからないです。

No.1 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/06/28 15:34

地道に解くなら

y=cosθのグラフを見ることです
すると
y=0となるのは
θ=π/2,3π/2…①であることがわかります
さらに、グラフには周期があり2πごとにおなじ波形が繰り返されているので
θ=π/2に2nπ(２π、4π、6π・・・)を足し引きしてもｙ＝０になることがわかります
ゆえに一般解はθ=π/2+2nπ…②
同様に3π/2＋2nπ…③も一般解（ただしnは整数　n=0のときが解①を示している）
ただし、π/2と3π/2の差はπなんで②、➂は統合してあげることができて
ひとまとめにすると
一般解は　θ=(π/2)+ｎπ

ですが、多くの人は単位円を利用してサクッと答えを出します
原点中心　半径１の円を描いて　その円周上に点P(x,y)をとると
x軸（正の方向）から反時計回りに角度θの位置に半径ＯＰがあるとき
Pの座標は(cosθ、sinθ）となる　・・・三角関数の定義を参照
このことから　cosθ＝０となるときPの位置は円とｙ軸が交わる(0,1)または
(0,-1)なんで
θ=・・・-π/2,π/2,3π/2,5π/2,7π/2・・・・です
ゆえに該当のθの範囲では　π/2、３π/2　が答え
一般解は今列挙した無数のθをすべて答えなければいけないので
nを整数としてθ=(π/2)+ｎπ

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/06/28 20:12

cosθ の定義を思い出しましょう。

x軸の正部分を、原点中心で半時計回りにθラジアンだけ回転した半直線と、
原点中心半径１の円周との交点のｘ座標が cosθ です。

原点中心半径１の円周上で、x座標が0である点はどこにありますか？
(0,±1) ですね。 原点を端点とし、これらの点を通る半直線が
x軸の正部分をどれだけ回転させたものかを考えれば、
それが cosθ=0 の解になるわけです。

図を描いてみると、そのような角度は 90° と 270° (ラジアンでは π/2 と 3π/2)
であることが判ります。 表面上見えているのはそれだけですが、
半直線の回転は 360° 以上や負の角度(逆回り)になってもかまわないので、
cosθ=0 となる回転角は 90°+360°n, 270°+360°n {nは任意の整数}
(ラジアンでは θ = π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn) となるのです。
この、1回転以上や負の角度も含む全ての解を「一般解」と呼びます。