三角関数の問題です

0≦θ≦πの時、sinθ≦2sinθ/2が成り立つことを証明しろと言う問題です
分かる方お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/19 09:38

2倍角の公式を使って

　sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)
なので、
　2sin(θ/2) - sinθ
= 2sin(θ/2) - 2sin(θ/2)cos(θ/2)
= 2sin(θ/2)[1 - cos(θ/2)]　　　　　①

0≦θ≦πのとき、
　0 ≦ θ/2 ≦ π/2
ですから、この範囲では
　sin(θ/2) ≧ 0
　0 ≦ cos(θ/2) ≦ 1
なので、
　① ≧ 0

従って
　2sin(θ/2) - sinθ ≧ 0
よって
　sinθ ≦ 2sin(θ/2)

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2022/06/26 06:56

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/19 11:41

0≦θ≦πだから

0≦(cosθ-1)²　が成り立つ
（等号成立はθ=0のとき)
⇔0≦cos²θ-2cosθ+1　
⇔1≦cos²θ-2cosθ+2
⇔1-cos²θ≦2(1-cosθ)
⇔sin²θ≦2(1-cosθ)
（半角公式：sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2
⇔4sin²(θ/2)=2(1-cosθ)
を用い）
⇔sin²θ≦4sin²(θ/2)
(0≦θ≦πではsinθ,2sinθ/2がともに０以上で
あるから両辺1/2乗（ルート）
にしても大小関係は変わらず）
⇔sinθ≦2sinθ/2

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2022/06/26 06:56