２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます

Question

２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。
毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます。

質問は、どちらかのビンが空になるのは、いつころと予測できますか？

kamiyasiro · Accepted Answer

私は、理論を考える前に、コンピュータシミュレーションで当たり付けをするタイプで、まずはやってみました。

1万回の試行で、16.478日目となりました。

プログラムは下記（Rです）

# 瓶が空になる日数

i <- 0
ans <- NULL

while(i < 10000){

x <- 10
y <- 10

for(j in 1:20){
k <- sample(1:2, 1)
x <- ifelse(k == 1, x - 1, x)
y <- ifelse(k == 2, y - 1, y)

if(x == 0 | y == 0) break
}

ans <- append(ans, j)
i <- i + 1

}

bins <- seq(9.5, 19.5, by = 1)
hist(ans, breaks = bins, xlim = c(9, 20))

mean(ans)

qas2021 · Answer

期待値の計算も記載しておきます。

まず、薬の数をそれぞれ n 個とすると、No.12と同様に、k日目にビンが空になる確率 fₙ(k) が求められます。

fₙ(k) = 2・ₖ₋₁Cₙ₋₁・1/2^k
(k = n, n + 1, …, 2n - 1)

したがって、期待値は次のとおりとなります。

Σ_{k = n to 2n - 1} k・fₙ(k)
= Σ_{k = n to 2n - 1} k・2・ₖ₋₁Cₙ₋₁・1/2^k
= 2n・Σ_{k = n to 2n - 1} k・2・ₖCₙ・1/2^k
= 2n(Σ_{k = n to 2n} fₙ₊₁(k + 1) - fₙ₊₁(2n + 1))
= 2n(Σ_{k = n + 1 to 2n + 1} fₙ₊₁(k) - fₙ₊₁(2n + 1))
= 2n(1 - (2n)!/((n!)^2・2^(2n)))

qas2021 · Answer

> ＜k日目にビンが空になる確率は
> 2・ₖ₋₁C₉・1/2^k＞なのですね。
> よく考えますが、難しそうですね。

そうでもありません。
二つのビンを A, B とすると、k日目でAが空になるには、その前の (k - 1) 日でAが9回選ばれていないといけません。この組み合わせが ₖ₋₁C₉ 通りあります。
k日目でBが空になるのも同様なので組み合わせ数が倍になります。
2・ₖ₋₁C₉ 通りの組み合わせはどれも 1/2^k の確率で起こるので、
k日目にビンが空になる確率は、2・ₖ₋₁C₉・1/2^k となるのです。

t_fumiaki · Answer

>>19日までもつれ込むのは、９．５回ということですね、

そういう事になります。
この問題は良い問題の部類に入ると思います。

kairou · Answer

＞無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５　　平均１４/１５日とも考えられます。

NO2 です。
ミスで 途中で送信してしまいました。
「普通に考えたら」そんな単純ではないですよ。
下記のような意味の事を書くつもりでした。

10日で 空になるのは 1通りしかありません。
11日で 空になるのは、その何処かに他のビンが入るので、 
10日の9倍通り あることになります。
12日で空になるのは 11日の 9倍になるのでは。

qas2021 · Answer

No.8 です。

正確には
20・(1 - 20!/(10!)^2/2^20) = 1079775/65536
となるそうです。

https://www.wolframalpha.com/input?i=20+%281+-+20%21%2F10%21%5E2%2F2%5E20%29&lang=ja

qas2021 · Answer

k日目にビンが空になる確率は
2・ₖ₋₁C₉・1/2^k
(k = 10, 11, …, 19）
だから、期待値は、
Σ k・2・ₖ₋₁C₉・1/2^k = 16.47606
になると思います。

kamiyasiro · Answer

#4のシミュレーションをやった者です。

数値解にチャレンジしようと思っていたら、#5さんから納得いく正解が出てしまったので、降参します。

既に#1で出ていたんですね。すばらしい。

t_fumiaki · Answer

No.5ですが、エクセル手計算でやってるので、誤差は、No.4様の16.478日目の方が少ないですね。

考え方はドッチも同じです。

t_fumiaki · Answer

No.1続き

エクセルで計算して見ました。
考え方は同じです。

19回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C9･19!/20P19    0.5
18回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C8･18!/20P18    0.23684211
17回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C7･17!/20P17    0.10526316
16回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C6･16!/20P16    0.04334365
15回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C5･15!/20P15    0.01625387
14回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C4･14!/20P14    0.00541796
13回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C3･13!/20P13    0.00154799
12回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C2･12!/20P12    0.00035724
11回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C1･11!/20P11    0.00005954
10回試行して赤が無くなる確率：10C10･10C0･11!/20P10    0.00000541

これに、各試行回数を掛けて合計します。
19日掛る確率が0.5なので、9.5日
18日掛る確率が 0.23684211なので、4.26315798日

と言う具合にして全部足すと、16.59090938日

結果：16.6日

２つのビンに、１０錠ずつの薬を入れました。 毎日、無作為に選んだビンから、1錠ずつの薬を飲んでいます

私は、理論を考える前に、コンピュータシミュレーションで当たり付けをするタイプで、まずはやってみました。

期待値の計算も記載しておきます。

> ＜k日目にビンが空になる確率は

>>19日までもつれ込むのは、９．５回ということですね、

＞無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５ 平均１４/１５日とも考えられます。

No.8 です。

k日目にビンが空になる確率は

#4のシミュレーションをやった者です。

No.5ですが、エクセル手計算でやってるので、誤差は、No.4様の16.478日目の方が少ないですね。

No.1続き

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＞無理すれば（１０＋１９）÷２＝１４．５　　平均１４/１５日とも考えられます。