得点の期待値。

打順が1番から9番の選手の「出塁率」がそろってPだとします。

・選手たちは二塁打以上は打たない。どんな理由でも出塁するときは、必ず、1塁まで
・盗塁やタッチアップはしない
・ランナーの状況は必ず「ランナーなし」か「1塁」か「１塁・2塁」か「満塁」かのどれか
・ランナーがいて、アウトになるときは、アウト前とアウト後で塁の状況は変化しない。また、ダブルプレーはなし
・延長はない


質問
このチームが先攻だとしたら、1番バッターと9番バッターの平均の打席数は、それぞれどのくらいになりますか。また、チームの得点の期待値は、どのくらいになりますか。
Pを使って教えてください。

質問者からの補足コメント

• 1試合(9イニング)あたりの打席数と得点です。

    補足日時：2023/05/24 12:55

• 大谷翔平について、普通の日本人よりも、少しだけ、ファンの度合いが濃いと思っていますが、彼のホームランを期待して、毎試合、できるだけリアルタイムで情報を調べると疲れます。ちっともホームランを打ちません。すると、どっと疲れが出ます。現在の資料を見ると、なんと、4.5試合に1本しか打たない計算です。
  
  こんなことなら、ある程度の日数は、大谷のホームランのことを考えないようにして、そのあと、結果をチェックすればいいのではないかと思いました。
  
  こんな私は、平均的日本人よりも、少しだけ、ファンの度合いが多いと思いますか。それとも、だいぶ外れていますか。

    補足日時：2023/05/24 20:46

• 上の補足は、別に立てている他の質問と勘違いしてました。無視してください。

    補足日時：2023/05/26 08:37

• 1イニングに平均何人が打席に立つかというのは分かりました。
  
  一方、
  1番バッターは1試合で平均何打席あるか、とか、9番バッターは何打席あるか、というのは、まともにやると、場合わけが恐ろしく複雑になりそうですね。簡単になりますか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/26 09:41

• 1番打者が
  3打席で終わるのは、全員の打席数が27打席の場合。
  (出塁者が0人)
  
  4打席で終わるのは、全員の打席数が28～36の場合。
  (出塁者が1～9人)
  
  5打席で終わるのは、全員の打席数が37～45の場合。
  (出塁者が10～18人)
  
  これだと大変です。
  もっといい考え方は、ありますか。

    補足日時：2023/05/26 10:16

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/25 11:07

打者の出塁率がどの打者のどの打席も毎回独立だ、という仮定がないと話が始まらない。

たとえば「満塁だとピッチャーが震え上がって四球を連発する」なんてことはないものとする。

　で、1イニングのうちに、延べ(n + 3)人が打席に立ち延べ3人がアウトになってmax(0, n - 3)点を得る、ということが起こる。
[1] 1イニングで(n + 2)人が打席に立って、延べn人出塁し2アウトの状態になる確率は、二項分布
　　B(n) = ((n + 2)C2) (P^n)((1 - P)^2)
に従い、この状態で(n + 3)人目の打者がアウトになってイニングが終わる確率は
　　B(n)(1 - P)
である。ここで
　　(n + 2)C2 = (n + 2)(n + 1)/2
なので結局、このイニングで(n + 3)人が打席に立ってそのイニングが終わる確率R(n)は
　　R(n) = (((1 - P)^3)/2) (n + 2)(n + 1)(P^n)
従って、1イニングでの打席数の期待値Ebは
　　Eb =Σ[n=0～∞]( (n + 3)R(n) )
　　　= (((1 - P)^3)/2) Σ[n=0～∞]( (n + 3)(n + 2)(n + 1)(P^n) )
この総和Σを計算するには等比級数
　　f(x) = Σ[n=0～∞] (x^(n + 3)) = (x^3)/(1 - x)
を使う。f(x)の3階導関数 f'''(x)は
　　f'''(x) = Σ[n=0～∞] (n + 3)(n + 2)(n + 1)(x^n) = ((x^3)/(1 - x))''' = 6/((1 - x)^4)
なので
　　Eb = (((1 - P)^3)/2) f'''(P) = 3/(1 - P)
もちろん、9イニングの打席数の期待値はその9倍。

[2] 1イニングの得点がt点（t＞0）である確率 T(t)は、出塁した人数nが3人以下なら0点、さもなければ(n - 3)点なので、
　　T(t) = R(t + 3)
だから、1イニングの得点の期待値Et は
　　Et = Σ[t=1〜∞] t T(t)
　　　= Σ[n=4～∞] (n - 3) (((1 - P)^3)/2) (n + 2)(n + 1)(P^n)
　　　= (((1 - P)^3)/2) Σ[n=4～∞] (n - 3)(n + 2)(n + 1)(P^n)
これも
　　g(x) = Σ[n=4～∞] (x^(n + 2)) = (x^6)Σ[n=0～∞] (x^n)) = (x^6)/(1 - x)
　　h(x) = Σ[n=4～∞] (x^(n + 3)) = (x^7)Σ[n=0～∞] (x^n)) = (x^7)/(1 - x)
を使って
　　Et = (((1 - P)^3)/2) (h'''(P) - 6g''(P)) = 3(P^4)(2 P^2 - 6 P + 5)/(1 - P)
もちろん、9イニングの得点の期待値はその9倍。

　なお、こういう質問を数学カテに投げる以上は、Σや微分がわからんとかワガママを言うのはナシ。

No.7 回答者： kmee 回答日時： 2023/05/29 20:56

もう一度書きますが

・必要な総人数 = 3アウト × 9イニング + 出塁数
・一人あたりの(平均)打席 = 総人数 ÷ 9 = 3 + 出塁数 ÷ 9
です。

これは全ての場合でこの通りです。
・2回に2人目の5番打者が出塁、他全て凡退 の 計1出塁
でも
・9回に3人目の9番打者が出塁、他全て凡退 の 計1出塁
でも、全ての「出塁数=1」で 1番打者は4打席、2〜9番打者は3打席になります。
以下
・全ての「出塁数=2」で、1,2番打者は4打席、3〜9番は3打席で、
・全ての「出塁数=3」で.....
と全ての場合で成立します。

No.6 回答者： kmee 回答日時： 2023/05/29 10:04

訂正)

全打者の平均 : 3 + 出塁者 ÷ 9
1番 : 3 + 出塁者 ÷ 9 の端数切り上げ
9番 : 3 + 出塁者 ÷ 9 の端数切り捨て

必要な総人数 = 3アウト × 9イニング + 出塁数
一人あたりの打席 = 総人数 ÷ 9 = 3 + 出塁数 ÷ 9

出塁数 ÷ 9 の端数切り捨て 回は全員に打席が追加される。
出塁数 ÷ 9 の余りが1のとき 1番打者にもう1打席追加
出塁数 ÷ 9 の余りが2のとき 1番と2番にもう1打席追加
出塁数 ÷ 9 の余りが3のとき 1番と2番と3番にもう1打席追加
...
出塁数 ÷ 9 の余りが8のとき 1番から8番にもう1打席追加

よって
9番 : 3 + 出塁者 ÷ 9 の端数切り捨て
であり、余りが0でなければ1番打者は9番より1打席多くなるので
1番 : 3 + 出塁者 ÷ 9 の端数切り上げ
一般にn番打者(n=1～9)の打席数は
3 + (出塁者 + (9-n)) ÷ 9 の端数切り捨て

実際の野球では、ダブルプレーや牽制アウト等があるので、この式はあてはまりません。


> 複雑だと思うのは

「複雑」なのは「出塁者を求める」部分で、出塁者から打席数を求めるのは別に複雑ではありません。

No.5 回答者： kmee 回答日時： 2023/05/27 04:59

> これだと大変です。

> もっといい考え方は、ありますか。

どのあたりが「大変」なのでしょうか?

出塁者が9人毎になっていることに注目すれば、
平均 : 出塁者 ÷ 9
1番 : 出塁者 ÷ 9 の端数切り上げ
9番 : 出塁者 ÷ 9 の端数切り捨て

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/27 01:20

> もとの質問をよく読んでください。

追加ではなく、もとの質問を繰り返しているだけです

数学カテゴリーでは全く別の質問ですよ。「もとの質問を繰り返し」と言いたければスポーツのカテゴリーに投げなされ。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/26 21:42

> 1番バッターは1試合で平均何打席あるか、とか、9番バッターは何打席あるか、というのは、まともにやると、場合わけが恐ろしく複雑になりそうですね。

簡単になりますか。

全然違う話を追加質問するのもナシです。ま、ややこしい計算を苦労してやるよりも、数値実験を100万試合分やってみる方が実用的でしょうね。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/05/24 14:41

得点を1点あげるには、１イニング中にヒットが4本必要。

その場合には、打者6人のうち4人がヒットを打てばよい。7人目のアウトでチェンジ。
6回の打席で、4回ヒットを打つ確率は（二項分布です）
　P(6, 4) = 6C4 * p^4 * (1 - p)^2

得点を2点あげるには、１イニング中にヒットが5本必要。その場合には、打者7人のうち5人がヒットを打てばよい。8人目のアウトでチェンジ。
7回の打席で、5回ヒットを打つ確率は
　P(7, 5) = 7C5 * p^5 * (1 - p)^2

得点を3点あげるには、１イニング中にヒットが6本必要。その場合には、打者8人のうち6人がヒットを打てばよい。9人目のアウトでチェンジ。
8回の打席で、6回ヒットを打つ確率は
　P(8, 6) = 8C6 * p^6 * (1 - p)^2

・・・

このようにして、1イニングの得点とその確率を計算し、
　得点 × その確率
を全得点について足し合わせれば、そのイニングの得点の期待値が求まる。

それを9イニング分足し合わせれば、1試合の得点の期待値になる。