図の回路において、時刻t=0でスイッチSを閉じるときに生じる現象について考える。 回路に流れる電流を

図の回路において、時刻t=0でスイッチSを閉じるときに生じる現象について考える。
回路に流れる電流をi(t)、キャパシタの両端の電圧をv(t)とし、スイッチSを閉じる直前のキャパシタの電荷をq0(q(-0)=q0)、E>0とする。

i(t)からv(t)を求め、q0=2CEの場合について、v(t)の波形を描きたいのですが、
私は、i(t)=-E/R exp(-t/(CR))と求められ、
v(t)=Ee^(-t/(CR))と求められたのですが、
どうやら間違えてるみたいです。

正しい答えと解き方を教えてください。
お願いします。

No.7 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/24 10:16

あなたの式だと

v(0)=Ee^(-0/(CR)) =E

q0=2CE ってことは v(0) = q0/C = 2E
だから間違ってますよね。

v(t) = E - i(t)R
なんだから、電流が求まれば答えは

v(t) = E - [-Ee^{-t/(CR)}] = E[1 + e{-t/T}]

が求まるはず。

微分方程式立てて始めから解くと

E = Ri + (∫[0→t]idt + q0)/C
ラプラス変換すると
E/s=RI + (I/s + q0/s)/C
→ CE = sCRI + I + q0
→ I = (CE-q0)/(sCR+1)={E/R-q0/(CR)}/{s + 1/(CR)}
= -(E/R)/{s + 1/(CR)}

ラプラス逆変換して
i(t) = -(E/R)e^{-t/(CR)}

なので i は合ってます。

No.6 回答者： pooh2016 回答日時： 2023/07/24 09:33

簡単なのはRの両端電圧VR(t)計算して、C両端電圧v(t)を計算します。

v(t)＝E－VR(t)
　　＝E－R・i(t)
　　＝E－R・(E/R exp(-t/(CR)))
　　＝E(1- exp(-t/(CR))

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/24 08:33

>t→∞ のときには

　v(t) → E
になります。
⑤から分かるように、""そのときの""電流は
　I0 = -E/R
となって、電池の電流は流れずにキャパシタの「放電電流」が流れます。
<

●何、訳の分からないことを言っている。

聞かれもしない、余計なことを述べているが、なぜ
さっさと完了しない?

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/23 19:00

Ri+q/C=E, i=q' → Rq'+q/C=E

→ R(q-CE)'+(q-CE)/C=0

これは変数分離ですぐ解けて
　q-CE=Aexp(-pt), p=1/RC
初期条件から
　q(0)-CE=2CE-CE=A → A=CE
したがって
　q=CE{1+exp(-pt)}

　v=q/C=E{1+exp(-pt)}

ちなみに　iから求めるときは
　i=dq/dt → ∫[0,t]idt=q-q(0)=q-2CE
だから
　v=q/C=(1/C){ ∫[0,t]idt+2CE }
　　=(1/C){ ∫[0,t] -(E/R)exp(-pt) dt + 2E }
　　=(E/RC)[ -(-1/p)exp(-pt)][t,0] +2E
　　=E{exp(-pt)-1} +2E
　　=E{1+exp(-pt)}

微分して積分するので無駄なことをしているけれど。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/23 18:52

Cv(t) = q(t)

で
　dq(t)/dt = i(t)

ですから

　dv(t)/dt = (1/C)i(t)　　　①

かつ
　v(t) + Ri(t) = E　　　②
より
　dv(t)/dt = -Rdi(t)/dt　　　③
です。

①③より
　di(t)/dt = -[1/(CR)]i(t)
よって
　i(t) = I0･e^[-t/(CR)]

よって、②より
　v(t) = E - R･I0･e^[-t/(CR)]　　　④

t=0 のとき
　v(0) = (1/C)q0
なので、④より
　v(0) = E - R･I0 = (1/C)q0
→　I0 = E/R - [1/(CR)]q0　　　⑤
よって、④は
　v(t) = E - R･{E/R - [1/(CR)]q0}･e^[-t/(CR)]
　　　＝ E - E･e^[-t/(CR)] + (q0/C)･e^[-t/(CR)]
　　　= E{1 - e^[-t/(CR)]} + (q0/C)･e^[-t/(CR)]　　　⑥

⑥が一般解でしょう。
通常の高校物理でやるような q0=0 の場合には
　v(t) = E{1 - e^[-t/(CR)]}
となります。

そして
　q0 = 2CE
の場合には
　v(t) = E{1 - e^[-t/(CR)]} + 2E･e^[-t/(CR)]
　　　= E{1 + e^[-t/(CR)]}
t→∞ のときには
　v(t) → E
になります。
⑤から分かるように、そのときの電流は
　I0 = -E/R
となって、電池の電流は流れずにキャパシタの「放電電流」が流れます。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/23 18:45

そもそもとして, あなたは i(t) や v(t) をどうやって求めたの?

v(t) がそうならないことは「見ればわかる」はずだよ.

No.1 回答者： yucco_chan 回答日時： 2023/07/23 18:29

https://blog-info1.net/seminar/ltspice-transitio …
ここを見て勉強してください。