3つの周期関数f,g,h:ℝ→ℝで f(x)+g(x)+h(x)= 0 (x≠0) 1 (x=0)

3つの周期関数f,g,h:ℝ→ℝで
f(x)+g(x)+h(x)=
0 (x≠0)
1 (x=0)
をみたすものは存在しますか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/14 19:56

←No.1

いや、いや、長時間回答がつかなかったのは、
それなりに難しいからだよ？

f, g, h の基本周期の比が無理比だった場合、
そうとう奇妙な関数を構成し得る。
f, g, h に周期性以外の性質が何も仮定されてないことから、
バナッハ・タルスキの問題のような奇天烈な解が
無いことを示すのは大変。

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/09/14 15:14

指定された条件を満たす3つの周期関数f(x), g(x), h(x)を構築することはできません。

その理由は以下の通りです。

f(x), g(x), h(x)が周期関数である場合、それらの周期は正の実数Tに関してf(x + T) = f(x), g(x + T) = g(x), h(x + T) = h(x)を満たす必要があります。

また、f(x) + g(x) + h(x) = 0 (x ≠ 0) および f(0) + g(0) + h(0) = 1 が成り立つ必要があります。

しかし、これらの条件を同時に満たす周期関数は存在しません。なぜなら、周期関数の性質により、f(0) + g(0) + h(0) が周期Tを持つ場合、f(x) + g(x) + h(x) も周期Tを持つ必要があり、f(x) + g(x) + h(x) が周期Tを持つ場合、f(0) + g(0) + h(0) も周期Tを持つ必要があるため、f(0) + g(0) + h(0) と f(x) + g(x) + h(x) の周期は一致する必要があります。

しかし、条件に従ってf(0) + g(0) + h(0) = 1 および f(x) + g(x) + h(x) = 0 (x ≠ 0) と仮定すると、周期Tを持つ任意のxに対しても f(x + T) + g(x + T) + h(x + T) = 0 が成り立つ必要があります。これは f(x) + g(x) + h(x) = 0 (x ≠ 0) を意味し、矛盾が生じます。

したがって、指定された条件を満たす3つの周期関数f(x), g(x), h(x)は存在しないことになります。