数学I・Aについて。 「連続するm個の整数の積はm!の倍数」というものの説明として添付した写真にある

数学I・Aについて。
「連続するm個の整数の積はm!の倍数」というものの説明として添付した写真にあるような内容が記載されていました。 これらをできれば詳しく解説して欲しいです。
どうして写真のような式になるのでしょうか？
教えて欲しいです。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/18 10:35

m以下の全ての正の整数で割り切れることを示すのは簡単だけど

m!で割り切れることを示すのはちょっと骨ですね(^_^;)

mCnが整数 に依存しない証明を探してみました
https://iwai-math-blog.com/index.php/rennzokusei …

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/16 13:25

「連続するm個の整数の積はm!の倍数」ってのは、つまり

連続するm個の整数の積 を m! で割った商が整数だ ってことです。
だから、割ってみればいいんですね。
分数にして、分子分母を n! 倍すれば、= nCm になる
というのが、質問の式です。

nCm = n!/( m! (m-n)! ) だということは、覚えとかないとダメかな。
これを知ってれば、n(n-1)…(n-m+1)/m! という式を見たときに
似た形の式だとピンとくるでしょう。

あと、 ｎCm が整数である理由は、
写真の説明で証明になっているかどうかは、やや微妙。
正式には、パスカルの三角形を使って数学的帰納法で示すとこかもしれない。
あるいは、説明抜きで nCm が整数であることは既知としてもよいのかも。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/16 10:01

No.2 です。

つづき。

「連続するm個の整数の積を m! で割ったもの」が
　n!/[m!(n - m)!]
になったわけで、これは
　n 個の中から m 個を選ぶ組合せ：nCm
の定義式でもある、ということ。
「n 個の中から m 個を選ぶ組合せ」は、必ず「整数」になるよね。「〇とおり」という「組わせの数」だから。

ということで、
「連続するm個の整数の積を m! で割ったもの」は「整数になる」
つまり
「割り切れる」
ということです。
割り切れれば「倍数である」ということ。

それを示している式です。
「著者が頭の中で何を考えているのか」をトレース・再現しながら読まないと、「本を読んだ」ことになりません。
参考書は、そうやって「著者と同じ思考過程をたどる」から「勉強になる」のです。
文字面だけを追ってもダメです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/16 09:27

分からないときには、自分で「具体的な数値」で確認してみればよい。

「10から20までの整数をかけ合わせたもの」は
「1から20までの整数をかけ合わせたもの」を「１から9までの整数をかけ合わせたもの」で割ればよいですよね？
いわゆる「通分」（分子・分母に共通因子があれば、それで打ち消しあう）をしているだけです。

お示しの式の中の
　n!/(n - m)! = (n - m + 1)(n - m + 2)･･･n
がそれにあたり、これで「(n - m + 1) から n までの整数をかけ合わせたもの」になっています。
n = (n - m + m)
ですから、これで「連続する m 個の整数の積」になっています。
(n - m + 1) ～ (n - m + m) (=(n - m + i)）の「m個」です。

それを「連続するm個の整数の積はm!の倍数」になるかどうかを
「連続するm個の整数の積を m! で割ったものが、整数で割り切れるかどうか」でし食べているのです。
そこに書いてある式は、その
「連続するm個の整数の積を m! で割ったもの」
です。

「！」という書き方に幻惑されないように！
単なる「連続した整数のかけ算」ですから。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/16 09:13

式の左辺の分子が「連続するm個の整数の積」です。

n, n-1, n-2, ..., n-m+1の積を表している。この積が「m!の倍数」であるとは、これをm!で割った答が整数になる、ということです。
　そこで割り算を書いてみたのが式の左辺です。

さて、左辺の分子
　　n(n-1)(n-2) ...(n-m+1)
にさらに　(n-m), (n-m-1), (n-m-2), ..., 2, 1 を掛け算してみると、
　　(n(n-1)(n-2) ...(n-m+1)) ((n-m)(n-m-1) ... 2×1) = n!
になる。なので、
　　n(n-1)(n-2) ...(n-m+1) = n! / ((n-m)(n-m-1) ... 2×1)
である。一方、
　　(n-m)(n-m-1) ... 2×1 = (n-m)!
なので、結局
　　n(n-1)(n-2) ...(n-m+1) = n! / (n-m)!
である。
　ゆえに、式の左辺は
　　n(n-1)(n-2) ...(n-m+1) / m! = n! / (m! (n-m)!)
である。
　で、これって、nCmじゃんかよ、という話です。