写真のように、質量Mの電車が右向きに加速度aで運動するときの電車内の質量mの物体が左向きに動くときに

写真のように、質量Mの電車が右向きに加速度aで運動するときの電車内の質量mの物体が左向きに動くときについてですが、非慣性系から見た場合、
物体に働く右向きの摩擦力μmgと左向きの慣性力maの関係がma＞μmgとなって左向きに滑ると思うのですが、この現象を慣性系から見た場合、運動方程式を考えると思うのですが、どのように立式すれば非慣性系から見た場合と同様な式ma＞μmgが得られるのでしょうか？解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 僕が考えたのは、電車と物体それぞれの運動方程式を立ててそこから相対加速度などを用いるのかな？と考えました…

    補足日時：2023/12/25 15:34

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/25 18:10

(A) 非慣性系（電車の上の座標系）では

・物体に働く水平方向の力（慣性力）
　左向きに　F = ma
・それが動こうとするの阻止する力（摩擦力）
　右向きに　f = µN = µmg

物体の加速度 β は、上記の力の合力によって生じます。
その運動方程式は、左向きを正として
　mβ = ma - µmg　　　　　①

(A-1) 物体が「すべる」つまり β>0 となるのは、動摩擦係数を µ' と書いて
　ma > µ' mg
のときです。
(A-2) 物体が静止したままであれば、 β=0 つまり
　ma = µmg
ということになります。


(B) 一方、慣性系（地上上の座標系）では
・物体に働く水平方向の力（電車との摩擦力）
　右向きに　f = µN = µmg
だけです。

物体の加速度を γ は、この力によって生じます。
その運動方程式は、右向きを正として
　mγ = µmg

(B-1) 物体が電車の上に静止したままであれば、 γ=a つまり
　mγ = ma = µmg
ということになります。
これが (A-2) に対応します。

(B-2) 物体が「すべる」場合には、γ≠a であり、
　a - γ = k (>0)　←　γ が a より大きくなることはあり得ないから
と書けば（k は相対加速度に相当）
　 mγ = µ'mg
→　m(a - k) = µ'mg
→　mk = ma - µ'mg
これが A の①式に相当し、k>0 なので
　ma > µ'mg
ということになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。最初、何となく相対加速度を使うのだろうと、見当はついていたのですが、立式ができなかったのでスッキリしました。ありがとうございます

お礼日時：2023/12/26 14:07

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/27 11:39

No.3 です。

#3 は、「電車が一定加速度で加速中」つまり「右向きに a>0 で一定」という条件で書きました。
特に (B-2) の
　k = a - γ > 0
はそれを前提にした条件です。

一般の場合に拡張すると、「a<0 つまり減速」ということもあるし、「加速度は一定ではなく、大きい加速度から小さな加速度に変化する」こともあるので、摩擦力の向きが変わったり、小物体の加速度が電車の加速度よりも大きくなることもあり得ます。

特に「摩擦力の向き」は条件によって変わり、しかも「動摩擦力」と「一旦停止した後の静止摩擦力」の関係も出てきますので、その場合には「ひとつの式ですべてを表す」 のではなく、加速・減速の条件によって場合分けして立式した方が分かりやすいと思います。

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/26 14:28

補足、

先ほどの回答は
α＝aとなった後
αよりaを小さくして一定に保つ
この場面だけに着目したとき
と言う設定のもと
α＞aでも
まだ、左向きへの滑りが起こっている
ということでした…

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/26 14:23

設定により

α＞aもあり得ます
はじめ、物体が電車に対して静止していられないくらい
電車が加速度を持っていて
物体が左向きに滑っているとします
そこから次第に加速を緩めたとします。
すると、mα＝μmg→α＝μg
とaが等しくなるときが来ます
このとき、車内から見て物体の左向きへの滑る速さは、最大値をとつてます。
α＝aとなつた後からは、aをαより小さくして一定に保つことにしてみますと、車内から見立場では
慣性力よりも摩擦力のほうが勝ります、トータルで右向きの力がかかることになりますが
物体はすでに左向きに速さを持っているので、いくら右向きの力がかかっても、すぐには左向きの速度が0にならない
つまり、しばらくは左向きの滑りが続くことになります
で、時間経過とともに左向きへの滑り速度が緩くなり
やがて、車内から見て速度0となる時がきます

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/25 20:30

補足、右向きを正にとり

すでに社内の物体が左向き滑っているとき
慣性系で
電車の速度＞物体の速度…①
なら、非慣性系では車内の物体は左向き滑り続けるように見える
電車の速度＝物体の速度なら
社内の物体は止まって見える
電車の速度＜物体の速度なら
社内の物体は右向きへ移動するように見える

このことから
すでに、左向きに物体が滑っているなら
速度差があり、①の状態にある
このとき、慣性系で
車内の物体の加速度をαとすれば
α＞aでは
時間経過とともに物体の速度と
電車の速度に差がなくなってくるので
物体の滑りは止まる方向に状況が進んで行く
α＝aでは、速度差は変化しないから
車内の物体の滑りは止まらない
α＜aではでは、ますます速度差がつくから
車内の物体の滑りは止まらない
ということで、
すでに社内で物体が左向きに滑っていて
滑りが継続ならα＞aではないということになる

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。α＞aとなる状況はあるのでしょうか？

お礼日時：2023/12/26 14:05

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/25 16:37

右向きを正

慣性系での車内の物体の加速度をαとして
α＜a…①
運動方程式は
mα＝μmg…②
①から
mα＜ma
左辺に②を代入
μmg＜ma

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2023/12/25 15:04

(´・ω・`) 電車のパンタグラフは ”Ｙ” じゃなくて ”◇” なんだよなぁ。

・・・本題・・・

ぶっちゃけ摩擦抵抗による。
摩擦がゼロなら車両の移動に対して何の制限設けないぞ。
（この手の問題は空気抵抗を無視すると考えられる）