断面2次モーメントと断面係数の違い

Question

断面2次モーメントと断面係数の違いなんですが

断面2次モーメントとは、部材の変形のしにくさを表して、断面2次モーメントが大きいと、たわみにくく座屈しにくいことを示す。
それに対して断面係数は、部材の曲げ強さを表し、断面係数が大きいと曲げに対して強いことを示す。

なんですが、思うにたわみにくさと曲げ強さはイコールではないのですか？

断面2次モーメントが大きいと曲げに対しても強い。
断面係数が大きくてもたわみににくい。

とはかならずしもならないのでしょうか？
いまいち区別してる意味がよくわかりません
ご教授くださいませんか

k_riv · Accepted Answer

先ず，「曲げ強さ」と「たわみにくさ」から整理しましょう。

　　　　　＋－－　Ｍ　－－＋　
　　　　　↑Ｔ　　　　　　　　↓Ｃ
Ｐ　→　＝－－－－－－＝　　　→δ
　　　　｜Ａ　　　　｜　　　Ｂ｜
　　　　｜　　　J　　　　J　　｜
　　　　｜　　　　　　　　　　｜
（絵が巧く書けません）
荷重（P)によって，曲げモーメント（M)が生じる。
曲げモーメントは，材料の左と右に引張力（T)と圧縮力（C)を生じさせる。
（A)部分（＝）は引張強度を超えた時に破壊し，（B)部分（＝）は圧縮強度を超えた時に破壊する。

この時，(A)部分の負担する力（T)が同じならば，（A)の面積（＝）が大きい程破壊しにくい。又，中心点からの距離（J)が大きいと破壊しにくい。簡単に言ってしまえば，この時の（A)の面積と距離（J)を掛けたものが，曲げ外力に抵抗する抵抗曲げ強度を決めるための係数，即ち，断面係数（Z)です。

つまり，曲げ強度に影響を与える断面係数は，材料の材質，強度，変形などに関係なく，形状と距離だけで決まります。

一方，（A)部分に作用した引張力（T)は，（A)部分を伸ばす，即ち，変形させます。この時の変形量は，フックの法則によって，形状，距離に加えてヤング係数によって決まります。
この時，変形量は断面の外縁が最も大きく，中心位置に近いほど小さくなります。この時の形状の変化率を表すのが断面２次モーメントです。
（A)部分が引張によって伸び，（B)部分が圧縮による縮んだ結果，この材料はδ方向に変形します。この変形量がたわみです。

つまり，断面係数と断面２次モーメントは，公式は似ていますが，断面係数は曲げ抵抗強度に関する量であり，断面２次モーメントは変形率に関する量であって，お互いに全く関連性のない形状に関する係数です。

//　たわむ＝まがる
は，変形に関するもので，強度とは関係有りませんので，断面２次モーメントにだけ関係する語句です。（たくさん曲がっても＝たわみが大きくても，破壊するとは限らない。）

これを踏まえて，

//　たとえば
//　I>Zの場合だと割り箸のようにたわみにくいけど折れやすく
//　I<Zの場合だと釣竿のようにたわみやすいけど折れにくい
//　とかだとイメージできるんですが

というのは，上記の断面係数と断面２次モーメントの理屈から言うと，正解とは言えませんが，結果的に，強度とたわみの関係を言い表している，とっても素敵な例として有効だと思います。（今後，私にも使わせてください。）

この例の（I）を，曲げ剛性（EI)と言い換えれば，強度と変形の関係を表す例として完璧かもしれません。つまり，変形＝たわみの話をする時，（I)が単独で使われることはなく，常に一組の概念として，曲げ剛性（K=EI)として使われる，と言うことです。

これらの断面に関する諸量は，構造力学や材料力学において，数学的に積分を用いて説明され，イメージとして説明されることはほとんど有りません。ですから，実際に計算する事は出来ても，どのようなイメージかと聞かれると答えに窮して仕舞うのも仕方ない事だと思います。私もその一人ですが・・・

どちらにしても，断面係数と断面２次モーメントの関連性について，１級建築士でもイメージする事が難しい概念ですから，イメージ化して素人に説明するのは，多少無理があると思います。

altosax · Answer

おバカの＃１です^^;ごめんなさいです…
poppaiさんは一級を受けられてたんですね、ほんと失礼しましたm(__)m

わたしも昔がんばってみたんですが、むずかしくてあきらめてしまいました…

でも、せっかくのいい機会でしたので昔の本、ちょっと出してみました。

数学的でなくて文学的に「曲げ」と「たわみ」の違いというと、
曲げモーメントの計算まではヤング率が考慮されてなくて断面だけで決定する
次元で、たわみ、になってはじめてヤング率が考慮される、という感じでは
どうでしょうか？
（他の先生のみなさんもどうぞ添削？よろしくおねがいします^^;）

私もこの機会にまた再勉強してみたいと思いました。

n-space · Answer

基本的なことを説明するのはここでは無理だと思うので考え方のさわりだけ。
断面二次モーメント（Ｉ）というのは、部材の、一定方向による力に対して全体の曲げ変形のしにくさ。
断面係数（Ｚ）は、断面の縁応力度を求める時に使う係数です。断面二次モーメントを中立軸からの距離で割ったものが断面係数です。
どちらも、大小関係はせいや巾が大きくなれば大きな数字になるのは同じです。
力の方向によって曲げモーメント（Ｍ）が発生し、部分によって引っ張りや圧縮がかかります。
たとえば長方形の断面の梁があったとして、
真ん中辺に柱（荷重）が乗っていたとします。
梁の断面の上端は圧縮力が、梁の下端は引っ張り力がかかります。また、梁の断面の中心部は中立軸で力がかからない。縁にいけばいくほど力が大きくかかる。
その力をだすのにＺを使うのです。Ｍ/Ｚ

ますますわかりずらいでしょうかね…。

k_riv · Answer

何が聞きたいのかが分かりました。

結論から言えば，おっしゃるとおりです。

部材の成（D)及び幅（B)とを変数として，断面2次モーメント（I)は，（I)は，（B)ｘ（D^3)に比例する。かつ，断面係数（Z)は，（B)x（D^2)に比例するという事であって，部材の成や幅と直接比例するわけではありません。

例えば，数字の遊びかもしれませんが，
B=1，としてDを変化させると
I=1・2^3/12=1・2^2/6=Z
D=2では，　Z=I　となる，という現象も生じます。

質問者さんの比較の場合，
変数（B)と乗数を持つ変数（H)を別に考えると，
//　(1)Hが3でBが2の場合と
//　(2)Hが4でBが1の場合とでは
(1)を基準に考えると
Bは，2->1に減少し，（I)と（Z)に与える影響は同じ。
Hは，3->4に増加し，（I)は，（4^3）増加，（Z)は，(4^2)増加となります。つまり，高さの変化は，幅の変化に比べて断面性能に与える影響が大きいという事になります。

影響が異なるという事は，任意の2部材間の断面2次モーメントと断面係数に直接的な関連性はない，という結論になりますので，

//　つまりこの場合
//　(1)より(2)の方が曲げ強いけどたわみにくい
//　となるんですよね？

//　I=は(1)="4.5"＜(2)="5.3"ですが
//　Z=は(1)="3.0"＞(2)="2.6"になってしまい

とすれば，
(1)は(2)より強く，(1)より(2)はたわみにくい。
という結論でよいという事になります。

任意の形状を持つ2部材を比較した場合，それぞれその部材と相手方の部材の断面2次モーメントと断面係数の間に，直接的には何の関係もない，よって，現実的には，これらの組み合わせのうち，断面2次モーメントと断面係数に影響を与える（B)と（D)の変化状態を別に考慮しながら，最も適当な（B)と（D)を選択するという作業をすることになります。
因みに，梁の成は，(H)eightよりも(D)epthの方が，よく使われます。

k_riv · Answer

ある一面からみれば，質問者さんの疑問は尤もです。
「区別」という視点からみると，

断面２次モーメントは，荷重とたわみの「形状」に関する比例定数で，形状の面からみた変形のしにくさを表しています。又，断面係数は，曲げモーメントと応力の「形状」に関する比例定数で，形状の面からみた材料の曲げ強さ（曲げにくさ）を表しています。
この関係は，どちらも１次関数になっています。例えば，
y=4x　　　・・・（１）
y=2x　　・・・（２）
という１次関数の，4,2，即ち，傾きと同じ意味を表しています。断面２次モーメントと断面係数の数値が違うというのは，単に，比例定数が違う＝１次関数の傾きが違うと言うことであって，性質としては同じです。

つまり，たわみにくい材料＝曲げにも強い材料，と言うことで，例えば，H形鋼の様に同じ形状の材料であれば，断面２次モーメントが大きい＝断面係数も大きいと言う比例関係になっています。

断面係数と断面２次モーメントには，
Z=I・2/D
I=Z・D/2
と言う関係があり，唯の比例定数ですから，曲げ強さを表すのに断面２次モーメントを用いることも出来ます。
例えば，
M=Z・σ=（I・2/D）・σ
δ=P・L^3/(3EI)=P・(L^3/(3EZD/2)）
という具合で，曲げ強さの場合は（I・2/D）が比例定数，変形の場合は(L^3/(3EZD/2)）が比例定数で，断面２次モーメントは比例定数を構成する形状に関する部分です。

「区別する」というのは，簡単にいってしまって良いかどうか分かりませんが，誤解を恐れずに簡単に言って仕舞えば，
曲げ強さと変形という現象の全く異なった比例関係を表すのに，同じ比例定数を使うと計算式が煩雑になるので，使い方に応じて使いやすい形に纏めているだけ，
と言うことになりそうです。

こんな説明をしたら，専門家に怒られるのでしょうかネ・・・

以上，理論的には多少おかしな説明かもしれませんが，イメージが掴めれば幸いです。参考にしてください。

wtatsu · Answer

例えば、建物の梁の安全性を考える際に、たわみの影響が大きいのか曲げの影響が大きいのかを考えます。（どちらの許容値で定まるのか）
一般的には、長さが長い梁はたわみで定まり、短い梁は曲げで定まります。
そのため、断面2次モーメントと断面係数を使い分けます。

altosax · Answer

こんにちわ
私も文系なので、構造力学はちんぷんかんぷんで大変困った苦い思い出
しかありませんでした^^;

でもこれは住宅購入消費者としてとか、資材販売セールスマンなどの
一般人が概念的にとらえるには単純に「国語的」に捉えて大丈夫です。

>思うにたわみにくさと曲げ強さはイコールではないのですか？

これは「イコール」というと「数学的」に突っ込まれてしまう訳ですが、
比例しているから、一般人的にはイコールだと、いえ…もとい、同様、
程度の単語がいいのかもしれません、断面係数が大きければ二次モーメ
ントも大きいから一緒、とにかく大きければ強い、と思っていればいい
と思います。（「係数」だから、これすべてが「係っている」、と国語
的に理解して差し支えないと思います）

私は断面係数のほうが「算数」で済むので助かります^^;

>いまいち区別してる意味がよくわかりません
区別しているのは、二次モーメントのほうは「かかる力の総和」という
概念ですから、この数字はほんとうに力を表わしているんですが、断面
係数のほうは結果的に力の強弱なのですが、概念的にはあくまで係数、
なんですね。
でも単位がcmの４乗、とか、cmの３乗、という変な単位でこれまた頭
が混乱しますね。力の単位ならキログラムとかニュートンになりそうで
すが、
これは「便宜上」部材は絶対に均一な素材成分である、と仮定して一般
理論をくみたてる必要から、絶対均一なら断面積に比例して力を計測で
きる、という便宜的な単位の置き換えをしているだけなので、「cm４っ
て４次元空間のサイズなのか？」と勘ぐってはいけないのだそうです^^;

力学的な証明にはいやらしい数式で頭いたくなっちゃいますね。
区別の正しい説明もありますが、国語的にはなんだか言語明瞭意味不明
なのが理数系のいいところ？ですよね^^;
http://www.htokai.ac.jp/DA/wtnb/study/ism/sm5.html

断面2次モーメントと断面係数の違い

先ず，「曲げ強さ」と「たわみにくさ」から整理しましょう。

おバカの＃１です^^;ごめんなさいです…

基本的なことを説明するのはここでは無理だと思うので考え方のさわりだけ。

何が聞きたいのかが分かりました。

ある一面からみれば，質問者さんの疑問は尤もです。

例えば、建物の梁の安全性を考える際に、たわみの影響が大きいのか曲げの影響が大きいのかを考えます。

こんにちわ

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