問題のジャンルがよくわかってませんが、線形、非線形の方程式の解を誤差を少なくするための計算(逐次、ニュートンetc...)の問題の質問です。
I=[x0-d,x0+d]の範囲があります。
g(x)はIの中で
|g(x)-g(y)|<= L|x-y| (x,y∈I、0<=L<1)
成立させます。
ここで、|g(x0)-x0|<=(1-L)d (d>0)
が成立するとき、
x=g(x)の解がただひとつ存在することを示せ。
この問題なんですが、
仮定を用いていろいろ計算したら
|g(x0+d)-x0|<d
|g(x0-d)-x0|<d
という式を導きだしましたが、答えにはいたりません。
レポート等の問題は禁止されているそうですが、ヒントだけでもよろしいので、何か情報をいただけますか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ヒント1
漸化式 x(n+1) = g(x(n)) で定義される数列がもし収束すれば、極限xは方程式 x = g(x) の解
ヒント2
この数列がもし I の範囲外にとび出さなければ、
|x(n+1) - x(n)|
= |g(x(n)) - g(x(n-1))|≦ L|x(n) - x(n-1)|
数列が I の範囲外にとび出さないことの証明が重要です。なお
|g(x0)-x0|<=(1-L)d …(1)
は
|g(x)-x0|<=(1-L)d …(2)
に変更する必要はないと思われます。条件(1)はすぐにチェックできますが、条件(2)はすぐにはチェックできません。そのため条件(1)の方が実用的です。
No.3
- 回答日時:
|g(x)-g(y)|<= L|x-y|
をy=x0としてx=x0+dとx=x0-dの場合に分け、上式を展開します。
これに|g(x0)-x0|<=(1-L)dを展開したものを代入します。
するとg(x)-xがx0-dとx0+dで中間値の定理が使える形ができるようです。連続なことは自明だし。
No.1
- 回答日時:
こんばんは、一意性は
|g(x)-g(y)|<= L|x-y|
から簡単に主張できますよねたぶん?
(g(a)=a,g(b)=b, a,b∈Iと仮定して
上式を使う。|a-b|=0が出せますよね?)
これが正しいとしたら、後は
g(x)=x
の解を1つ構成したら証明終了ですね。
ところで条件
|g(x0)-x0|<=(1-L)d (d>0)
は
|g(x)-x0|<=(1-L)d (d>0)
ではないですか? 違いますか?
すいません私も自信があるわけでないですが。。
この回答への補足
回答ありがとうございます。
仮定は|g(x0)-x0|<=(1-L)d (d>0)で合っているようです。解の存在の証明はいまだにわかりませんが、中間値の定理などを使うのでしょうか?難しいです。
しかし、一意性の証明が理解できました。ほんとに助かります。ありがとうございました!!
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