No.1ベストアンサー
- 回答日時:
フーリエ係数は関数f(x)をフーリエ展開することで得られます。
f(x)が0≦x≦2πで定義された積分可能な関数で、
f(x)=A0/2 + [n=1→∞]Σ{An cos(nx) +Bn sin(nx)}
と展開できるとすると、
フーリエ余弦係数:An=1/π [x:0→2π]∫f(x) cos(nx) dx
フーリエ正弦係数:Bn=1/π [x:0→2π]∫f(x) sin(nx) dx
ただし、n=0,1,2,3,・・・で、B0=0
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
回答ありがとうございました。
>フーリエ係数は関数f(x)をフーリエ展開することで得られます。
とありますが、なぜそうなのかが知りたいです。知っていれば教えてください。お願いします。
No.3
- 回答日時:
#1/#2です。
お礼と補足を拝見しました。ありがとうございます。
>シグマが消えないんですけどどうしたらよいでしょう?
「これは途中でn=mとn=/mで場合わけしますよね?」とお尋ねということは分かっておられると思うのですが、一応説明しておきますと、
ANo.2の式☆の右辺だけを取り出して、cos(nx)をかけて積分区間x:0→2πで積分すると、
[x=0→2π]∫[A0/2 + [m=1→∞]Σ{Am cos(mx) +Bm sin(mx)}]cos(nx) dx
=[x=0→2π]∫A0/2 cos(nx)dx+[m=1→∞]Σ{ [x=0→2π]∫Am cos(mx) cos(nx)dx+[x=0→2π]∫Bm sin(mx) cos(nx)dx}
=0+[m=1→∞]Σ{ [x=0→2π]∫Am/2 [cos{(m+n)x}+cos{(m-n)x}]dx + [x=0→2π]∫Bm/2 [sin{(m+n)x}+sin{(m-n)x}]dx }
ところで、
[x=0→2π]∫cos{(m+n)x}dx=0 ・・・・・・・・・・・4つの式をまとめて式(1)とする
[x=0→2π]∫cos{(m-n)x}dx=0 (m≠nのとき)、=2π(m=nのとき)
[x=0→2π]∫sin{(m+n)x}dx=0
[x=0→2π]∫sin{(m-n)x}dx=0
だから(これでΣがとれます)、ANo.2の式☆の右辺をcos(nx)をかけて積分区間x:0→2πで積分したものは、
=An/2・2π=πAn・・・・・(2)
一方、ANo.2の式☆の左辺に(nx)をかけて積分区間x:0→2πで積分したものは、
=[x=0→2π]∫f(x)cos(nx)dx・・・(3)
したがって、(2)と(3)から
An=1/π・[x=0→2π]∫f(x)cos(nx)dx
この手順と同様にすれば、Bnについても導出できるはずです。
>A_nが(n=m)のときだけ答えが出たらB_nもn=mとしてよいのでしょうか?
そのことは、同様に式を変形していって、(1)の関係を使うことで分かるでしょう。
なるほど!nが消えたからΣを消してもよいということなんですね。
かなり詳しく回答してくださってありがとうございました。おかげで解決できましたm(__)m
No.2
- 回答日時:
#1です。
お礼を拝見しました。ありがとうございます。
>>フーリエ係数は関数f(x)をフーリエ展開することで得られます。
>とありますが、なぜそうなのかが知りたいです。知っていれば教えてください。お願いします。
どのように「フーリエ級数の勉強」をされていたのか疑問に思いますが、掻い摘んで説明しますと、
フーリエ展開の式
f(x)=A0/2 + [n=1→∞]Σ{An cos(nx) +Bn sin(nx)}
と三角関数の直交性から求められます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC% …
具体的には、フーリエ展開の式でnをmに置き換えて、
f(x)=A0/2 + [m=1→∞]Σ{Am cos(mx) +Bm sin(mx)}・・・☆
とし、両辺にcos(nx)をかけてx:0→2πの範囲で積分してください。
左辺に積分の式で、右辺はπAnになります。
これでAnの式が得られるはずです。
(三角関数の積和の公式や2倍角の公式を使ってください。)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …
同様に式☆の両辺にsin(nx)をかけてx:0→2πの範囲で積分してください。
左辺に積分の式で、右辺はπBnになり、Bnの式が得られるはずです。
回答ありがとうございました。
なるほど、大体分かってきました。これは途中でn=mとn=/mで場合わけしますよね?その時、A_nが(n=m)のときだけ答えが出たらB_nもn=mとしてよいのでしょうか?
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