平方完成と数学の基礎の復習

平方完成を事細かに教えてください　例題はy=-2x＾2+4x+1 です
^2は二乗という意味です　あと分数を含む物などとにかく平方完成を事細かに教えてください　何故この式がこうなるのかとか　この＋３は　何故出てくるのか等です　中学の単元毎の　目的　求め方　どういうときに使うのか等教えてください（例えば　連立方程式なら
目的　わかりません　　求め方　加減法　代入法　加減法はどういう風に解いて代入法はどういう風に解いて等です）

No.1 回答者： payuposu 回答日時： 2007/02/28 04:13

平方完成の目的はグラフを書いて最大値・最小値を知ることが

主だと思います。
以下、Ｘとｘに注意してみてみてください。
二次関数の式を一般式で表すと
y=ａｘ＾2 +bx+c ・・・(1)
ですね。
これを放物線のグラフにしたいのですから、
y=ａｘ＾2 +ｄ・・・(2)という式をつくればいいわけです。

まず、作り方としては、
(1)の式のａｘ＾2 +bxの部分をＸ＾２であらわす
(2)帳尻を合わせる
という感じです。
ａｘ＾2 +bx＝ａ（ｘ＋ｂ／ａ）＾２－（ｂ／ａ）＾２
ですね。
というわけで、
y=ａｘ＾2 +bx+c ・・・(1)
ａｘ＾2 +bx＝ａ（ｘ＋ｂ／ａ）＾２－（ｂ／ａ）＾２より
ｙ=ａ（ｘ＋ｂ／ａ）＾２－（ｂ／ａ）＾２＋ｃ
となります。
記号が多くてわかりにくいですがこれが基本です。

では具体的に質問者さんの例題で行くとどうなるのか。
手順はいっしょです。
y=-2x＾2+4x+1の-2x＾2+4xの部分をＸ＾２という形にします。
すると、-2x＾2+4x＝－２（ｘ－１）＾２＋２
となりますね。
このときのお尻の＋２は帳尻合わせです。
Ｘ＾２を作ろうとして－２（ｘ－１）＾２すると、－２が余分に出てくるのでそれを相殺するものです。

というわけでy=-2x＾2+4x+1の平方完成は
ｙ＝[－２（ｘ－１）＾２＋２]＋１
＝－２（ｘ－１）＾２＋３
となるのです。
この式で表されるグラフの頂点は（ｘ、ｙ）＝（１、３）です。
文章で書くと難しいですが、やることは
１．まずａｘ＾2 +bxのぶぶんをＸ＾２の形で表し、帳尻合わせする。
２．それをそのままもとの式に代入する
３．計算する
です。
多分最初は帳尻あわせで戸惑うかもしれません。
結局はＹ＝ｓＸ＾２＋ｔという風に、
二乗と定数で式を表せばいいんです。

一応参考ＵＲＬもつけていますが
多分文章で説明すればするほどどんどん難しく思えてしまうと思います。
たくさん問題解いて感覚をつかんでください。
補足等必要でしたらまた書いてください。

参考URL：http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/kansu …

この回答への補足

何故b/aなのか　　という所と　　帳尻あわせのところを具体的に教えてください

補足日時：2007/02/28 04:45

No.2 回答者： bison 回答日時： 2007/02/28 04:31

平方完成とは

y=ax^2+bx+c・・(1)　の式を
y=a(x+b)^2+c　・・(2)　の形にすることだと思います。（(1)と(2)のa,b,cの値は異なります。）

さて、上記(1)式を(2)式に変形するにはどうするかですが、まずx^2の係数aでax^2とbxを括ります。
このとき、例えばa=2,b=4で2x^2+4xとなっている場合は次のようになります。

2x^2+4x=2x^2/2+4x/2=2(x^2+2x)

このようにaで括ったときに、bも割り切れる数なら良いのですが、世の中そうも行きません。そのような場合でも、無理矢理aで括ってしまいます。よって分数が出てきます。例えば、a=2,b=3で2x^2+3xの場合、

2x^2+3x=2x^2/2+3x/2=2(x^2+3x/2)

となります。これをa,bで表せば

ax^2+bx=a(x^2+bx/a)

ここからは(x^2+bx/a)の部分が重要です。

次は(x^2+bx/a)の部分を(x+β)^2のような形にします。
(x+β)^2=x^2+2βx+β^2ですね。
変形すると
x^2+2βx+β^2=(x+β)^2
x^2+2βx=(x+β)^2-β^2
よって、x^2+2βxから(x+β)^2の形を作り出すには、
１．x+βを２乗し（βは2βxからxをとり1/2にした数・ここでも分数が登場）
２．β^2を引く
ことをすれば良いことになります。・・(3)

ここで(x^2+bx/a)に話は戻ります。
今は(x^2+bx/a)をなんとかしたいので、bx/a=2βxと考えます。すると、
2βx=bx/a
β=b/2a
になりますので(3)の方法にあてはめると、
１．x+b/2aを２乗し
２．(b/2a)^2を引く
と言うことになります。

ここまでで(1)式は
y=ax^2+bx+c
y=(x+b/2a)^2-(b/2a)^2+c

(b/2a)^2+cはxが無いので、これで完全平方です。

では上記の方法で例題を解いてみると、

y=-2x＾2+4x+1
y=-2(-2x＾2/-2+4x/-2)+1
y=-2(x＾2-2x)+1
y=-2{(x-1)^2-1}+1
y={-2(x-1)^2+2}+1
y=-2(x-1)^2+3

と、まあ書いてみましたが、数学を文字だけで伝えるのは難しいです。こんな内容なら参考書にいくらでも載っているでしょうし。
参考になれば良いのですが。

また、他の単元についてはここでは説明しきれません。見たところいつ、何を使って問題を解くのかがわからないものと推測しますが、これはたくさんの問題を解いて、自分で感覚を身につけるものだと思います。
参考書や問題集でまずは加減法だけ、代入法だけなど一つ一つ身につけてゆくことです。さらに数学の解法は一つではありません。必ずこれで解かなければならないということは無いのです。連立方程式そのものにしても使う必要が無ければ使わなくても解けますし、小学校の問題はそうなっています（ただしめんどくさかったりしますが）。厳しい言い方をすればまだまだ勉強不足と言ったところでしょうか。がんばってください。

この回答への補足

β←　　この記号はなんですか　　どういう意味ですか

補足日時：2007/02/28 04:53

この回答へのお礼

y={-2(x-1)^2+2}+1　　この＋2になるところを詳しく回答お願いします

お礼日時：2007/02/28 05:05

No.3 回答者： payuposu 回答日時： 2007/02/28 06:02

何故b/aなのか

⇒すいません。計算ミスでした。
正しくはａｘ＾2 +bx＝ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２－（ｂ／２ａ）＾２
です。
混乱させて申し訳なかったです。
これでここの疑問は解けましたでしょうか。

帳尻あわせについてです。
もう一度何をしたいか確認すると
放物線のグラフを書くとき、式はｙ＝ａＸ＾２＋ｄ・・・(1)の形であらわす必要があります。
グラフを書くためにｙ＝ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ・・・(2)の式をこのようにあらわしたいんです。

でも、(1)の式はＸ＾２のみでｘの部分がないですよね。
だから、Ｘ＾２を使ってｘ＾２の部分とｘの部分を作らなければ
ならないんです。
この時用いられるのが完全平方（ｘ＋ｔ）＾２というやつです。
完全平方は非常に使える公式です。
（ｘ＋ｔ）＾２＝ｘ^２＋２ｔｘ＋ｔ＾２
のように、左辺にはｘの部分が無いのにそれを展開すると
２ｔｘというｘの部分が現れます。
これをＸ＾２の部分に使います。

質問文章のｙ=-2x＾2+4x+1 の式で考えて見ましょう。
まずは-2x＾2+4xの部分を何とかして完全平方を使ってあらわしましょう。
とりあえずこれだけに注目してください。
とすると、
ー２（ｘ－１）＾２というふうにすれば展開したときに-2x＾2+4xの部分があらわされますね。
ただそこで一つ問題があります。
ー２（ｘ－１）＾２を展開すると、－２ｘ＾２＋４ｘ－２になります。
さて、困りました。-2x＾2+4xをあらわしたかっただけなのに
ー２（ｘ－１）＾２を展開すると-2x＾2+4xより２少なくなってしまいました。。。
だからそのぶんを足すんです。。

つまり-2x＾2+4x＝ー２（ｘ－１）＾２＋２
とかけるんです。


これができたら、これをそのまま最初の式に代入します。
ｙ=-2x＾2+4x+1
＝[ー２（ｘ－１）＾２＋２]＋１
＝ー２（ｘ－１）＾２＋３

ポイントは、とりあえず完全平方を使ってｘ＾２とｘの部分を表すことだけを
第一に考えることです。

この回答への補足

b/aが間違っているとは気づきませんでした　帳尻あわせは分かりました　　分からないのは　ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２－（ｂ／２ａ）＾２
という式を展開すると　　ａｘ＾2 +bx　　になるのが分かりません
一個一個手順を踏んで教えていただけないでしょうか

補足日時：2007/02/28 17:38

No.4 回答者： mis_take 回答日時： 2007/02/28 15:53

掛け算を練習すると割り算が強くなります。

因数分解に強くなりたかったら，乗法公式の展開の計算を練習するとよい。
平方完成に強くなりたかったら，平方展開の計算を練習するとよい。
ということで，まず次のような計算をいっぱいやってみてください。
(x-1)^2
(x-1/2)^2
2(x+1)^2
2(x-3/2)^2
3(x-2)^2
3(x+1/3)^2
-2(x-1)^2
-3(x+2)^2
:
:
次に，ax^2+bx の形（c がない）の平方完成を練習します。
x^2+4x
x^2-5x
2x^2+8x
2x^2-2x
2x^2-x
3x^2+6x
3x^2-2x
3x^2+3x
:
:

No.5 回答者： payuposu 回答日時： 2007/03/01 00:06

Ｎｏ.１、３です

あぁ・・・・。すいません、パソコンで数式打つとどうしても
うち間違いが・・・・。
間違いばかりで申し訳ないです。。。

正しくは
ａ（ｘ＋ｂ／２ａ）＾２－a（ｂ／２ａ）＾２
でした。aが一個抜けてました。これでわかるでしょうか。

帳尻あわせの部分がわかれば、あとは練習あるのみですね。

とても一生懸命お勉強されているようでなによりです。
がんばってくださいね。

No.6 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/03/01 14:41

次の式をよく読んで納得してください。

Ｙ＝ＡＸ＾２＋ＢＸ＋（Ｘに関係ない部分）
＝Ａ（Ｘ＾２＋（Ｂ/Ａ）Ｘ）＋（Ｘに関係ない部分）
＝Ａ（Ｘ＾２＋（２（Ｂ/２Ａ））Ｘ）＋（Ｘに関係ない部分）
＝Ａ（Ｘ＋（Ｂ/２Ａ））＾２＋（Ｘに関係ない部分）
（Ｘに関係ない部分）は目まぐるしく変わりますが、これは力仕事ですから、アタマに負担をかけずにできることが大切です。