ルンゲ-クッタ法について

ルンゲクッタ法にはたくさんのバリエーションがあるようですが、４次のルンゲクッタ法意外でどのようなものがあるのですか。
また、４次のルンゲクッタ法との違いを簡単に教えてもらいたいです。

No.3 回答者： tomtom_ 回答日時： 2007/05/07 23:17

Runge-Kutta法の中でも，古典的Runge-Kutta法（4次の陽的な解法）の他に，半陰的な解法，陰的な解法があります．

Runge-Kutta法の他にも陰的な解法がありますが，陰的な解法の法が安定性が優れていることが安定性解析によって知られていました．
最近になって，「なぜ安定的なのか」という不思議な疑問について，物理学的な保存量を持つからだ，ということが分かってきました．保存量とは，力学的なエネルギーや時間反転性，角運動量などです．
特にRunge-Kutta法については，Sanz-Serna博士らが研究し尽くしており，参考URLの本で紹介されています．
これらの保存量を持つ数値計算法は，幾何学的数値計算法（岩波数学辞典第4版による）と呼ばれています．

「シンプレクティック数値積分法」などで検索すると，いろいろ引っかかると思います．

参考URL：http://www.amazon.co.jp/Geometric-Numerical-Inte …

No.2 回答者： cabinessence 回答日時： 2007/05/07 02:15

基本的には、次数の違いだけじゃないですか。

４次なら、刻み幅の４乗のオーダーで（厳密解との）誤差が
減少します。

４次以外でよく使用されるのは、２次（別名Heun法）です。

あとは、計算時間との兼ね合いでしょうか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/05/06 23:58

原理的には何次であっても構成できるんだけど, 教科書などで説明されるのは 4段4次の RUnge-Kutta法 (いわゆる「古典」Runge-Kutta法) ですね.

4次までは段数と次数を一致させることができるんだけど 5次を越えると不可能で, 例えば 5次にするためには 6段, 6次にするためには 8段必要だったはず. で, このまま次数を上げていくとえらい段数が必要なんですが, 「大きなきざみ幅を使うためにすごい次数にする」って例を聞いたことがあります.
ちなみにきざみ幅を (それなりに) 自動的に調節する Runge-Kutta-Fehlberg なんてのもあるみたい.