一次不等式が分かりません

等式　2x+3y=33を満たす自然数x,yの組を求めよ。またそれらのうちxが2桁で最小である組を求めよ。

が分かりません。
検索しても合同式とかオイラーの解法とかmodとかでてきてよく分かりませんでした…
高校1年生レベルで教えてくださる方御願いします。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/24 20:45

x = 3(11-y)/2

11-y は正の偶数でなければいけない。
よって、11-y = 2m (mは自然数)と置くことができる。
つまり、y = 11-2m

m=1 → y=9、x = 3(11-9)/2 = 3
m=2 → y=7、x = 3(11-7)/2 = 6
m=3 → y=5、x = 3(11-5)/2 = 9
m=4 → y=3、x = 3(11-3)/2 = 12
m=5 → y=1、x = 3(11-1)/2 = 15

こたえ
ｘ＝１２、ｙ＝３

・・・で、いかがですか。

No.2 ベストアンサー 回答者： d-l_-b 回答日時： 2007/06/24 20:47

2x+3y=33←(1)

2・6+3・7=33←(2)
(1)－(2)より
2(x-6)+3(y-7)=0
2(x-6)=-3(y-7)
右辺は３の倍数だから
x-6=3k　とおく
これより
y=7-2k
(x,y)=(3k+6,7-2k)
自然数x,yを考慮してk=２とすると(x,y)=(12,3)となりxが2桁で最小である

No.3 回答者： kelly7s 回答日時： 2007/06/24 21:00

2x+3y=33 変形

x=-(3/2)y+16.5
よりyは奇数が入るはずなので、y=2n-1 (nは自然数）
x=-(3/2)(2n-1)+16.5=-3n+1.5+16.5=18-3n
y=2n-1>0
x=18-3n<0
両方を満たすnは　1<n<5
このうち、xが2桁で最小になるのは　18-3n>=10
-3n>=-8 n<=8/3 よりnが自然数であることを考えるとn＝2
よって　x=18-3×２＝12　y＝２×２-１＝３
　

No.4 回答者： kelly7s 回答日時： 2007/06/24 21:49

Ano1　の解答の仕方は代入して比べているので、あまりいい答えではありません。

2桁で最小であるというのは　x>=10 を満たすということですからそういうことを数式で表現しないと正解にはなりませんよ。

No.5 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/06/24 22:29

>2x+3y=33を満たす自然数x,yの組を求めよ。

またそれらのうちxが2桁で最小である組を求めよ。
>..... 検索しても合同式とかオイラーの解法とかmodとかでてきてよく分かりませんでした…

(1) まず、2x+3y=1 の解の一つを求める。
　3*x を2 で割って、(自然数の)答えと余りを出す。
　　3*1÷2 = 1 .... 余り1
　　3*2÷3 = 2 .... 余り0
　余り1 の方を式に書いてみると
　　3*(1) = 2*(1)+1
　　2*(-1)+3*(1) = 1
だから、x=-1, y=1 が 2x+3y=1 の解の一つ。

(2) 2*(-1)+3*(1) = 1 の両辺を 33 倍する。
　　2*(-33)+3*(33) = 33
つまり、x=-33, y=33 が 2x+3y=33 の解の一つ。

(3) ほかのあり得る解を書く。(一般解)
　　x=-33+3m, y=33-2m　　(m は任意の整数 : これを 2x+3y に代入すると結果が 33 になることを確かめてください)

(4) x=-33+3m, y=33-2m で自然数の組になるものを書き出す。
　またそれらのうちxが2桁で最小である組をさがす。
　(答えは今まででわかってるので省略)

一通りやってみたあと、「合同式とか」何たらとかを読み直すとわかるでしょう。

No.6 回答者： B-LION 回答日時： 2007/06/24 23:35

こういう問題は高校入試では中堅以上の学校で出てきますね。

整数問題(不定方程式)ってやつです。整数問題としては初歩的な問題です。高校数学では合同式で解いていくのでしょう。

中学数学範囲で分かる解法を

2x+3y=33
は
2x=3(11-y)
と変形できます。
ここで"両辺の係数は２と３で互いに素"なので
x="3の倍数"
であることがわかります。
ここからおそらくx=12であろうことがわかります。

次に右辺の(　)の中をみるとx,yは自然数であるという条件からyは下のようにかなり限定されます。
（11-y）> 0 (y:自然数)
さらに左辺が"2の倍数"であることから（11-y）も"2の倍数"つまり偶数であることがわかります。
以上からyの値は以下のようになります。
y=1,3,5,7,9
それに対応するxはそれぞれ
x=15,12,9,6,3
xの2桁での最小値は確かに12です。