Ａの４乗＋Ｂの４乗＋Ｃの４乗＝Ｄの４乗

Ａの４乗＋Ｂの４乗＋Ｃの４乗＝Ｄの４乗

このＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄに該当する自然数の組み合わせは存在するのでしょうか？

No.5 回答者： zk43 回答日時： 2007/09/06 00:31

いくつか具体的な解が見つかっているようですが、無限に解があること

も証明されているようです。
（ハーバード大学のノーム・エルキースにより）

No.4 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/09/05 19:05

他人の○○ですが、

27450160^4 + 146627384^4 + 108644015^4 = 156646737^4 (2007.6.1)
日付けに驚きます。
1841160＾4 [phone]^4 [phone]^4 =145087793^4 (2007.5.31)
どうもスパコンを使った様です。
[59[58 を押すと、他に１５例記載されています。
http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/index.h …

歴史的経緯は、＃１様の回答とおりで、
2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4
414560^4+217519^4+95800^4 = 422481^4
http://www3.alpha-net.ne.jp/users/fermat/yogo.html
に詳述されています。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/09/05 14:34

おまけ:

見付かったのは「4個の 5乗数の和で表される 5乗数」の方が先です. これは「5個の 5乗数の和で表される 5乗数」をコンピュータで探していたときにたまたま 0^5 を含むものがあった, という経緯で見付かりました. で, その後「3個の 4乗数の和で表される 4乗数」も見付かった, と.
Fermat 予想類似の予想として「k乗数を k-1個の k乗数の和で表す方法は自明なもの (つまり 1個を除いて全て 0) しかない」という予想があったんですが, これらは k = 4, 5 に対する反例となっています.

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2007/09/05 12:53

自然数という解釈が1以上（つまり、0は含まない）と解釈すると。

。。0も自然数と解釈する流派もあるようですが。。。存在しないでしょう。

Ａ≧Ｂ≧Ｃ≧1としても一般性を失わない。
従って、Ａ＾4＋Ｂ＾4＋Ｃ＾4≦3Ａ＾4より、Ｄ＾4≦3Ａ＾4.
ＡとＤは共に正からＤ≦Ａ（4）√3。これを満たすＡとＤの自然数は存在しない。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/09/05 12:49

ちょっと調べたら, 「数学とコンピュータ」 (一松信, 共立出版) に以下の例があるそうです:

95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4
2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4
先走っておくと, 「4個の 5乗数の和で表される 5乗数」も見付かってます.