四次方程式

四次方程式 x~4-3x~3+x~2+ax+b=0 がx=1を２重解としてもつ。
このときのa,bの値と残りの解を求めなさい。

という問題なのですが、四次方程式というだけで足が竦んでいます。

解法のアドバイスをお願いします。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/01/07 04:01

＞四次方程式というだけで足が竦んでいます。

ここでは質問の丸投げはマナー違反ですので、あなたの分かる範囲で解答を書いて質問してください。

解法
左辺=f(x)とおくと
f(1)=a+b-1=0
b=1-a
f(x)に代入
f(x)=(x-1)g(x)
g(1)=a-3=0
a=3　→　b=1-a=-2
f(x)に代入
f(x)=(x-1)g(x)=(x-1)^2*(x+1)(x-2)
f(x)=0の他の解は上式から出てきます。

ちゃんと自分で解答を書いて解答が正しいか確認すること。

No.2 回答者： noname#147743 回答日時： 2008/01/07 03:39

四次方程式の解は、二次方程式などと同様に因数分解で求められます。

ただこの問題では、”x=1を２重解としてもつ”という条件が
ある（四次方程式の四つの解のうち二つが与えられている）
ため、結果二次方程式を解けばいいことになります。

条件に合わせて与式を書き直してみると
x~4-3x~3+x~2+ax+b=(x-1)(x-1)(解けばいい二次方程式)=0
解けばいい二次方程式を出すには、与式を(x-1)^2で割れば
いいだけです。この時、割った時の余りは０ということから
a,bの値が出ます。後は、解けばいい二次方程式を解けば
残りの二解も求まります。

_____（解いた後などに見てください）_____
(x~4-3x~3+x~2+ax+b)÷(x-1)^2=x^2-x-2
この時、余りは０なので、a=3,b=-2と出ます。
x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0
よって残りの解はx=-1,2

No.1 回答者： tannoy-fan 回答日時： 2008/01/07 02:55

f(x)=x~4-3x~3+x~2+ax+bとするとf'(x)=4x~3-9x~2+2x+a

f(x)=0がx=1を２重解としてもつことから、
　・f(1)=0 　…x=1が解であることから
　・f'(1)=0　…x=1が２重解であることから、x=1における微分値が0

ゆえに
　・1~4-3*1~3+1~2+a*1+b=0
　・4*1~3-3*1~2+2*1+a=0
整理すると
　・a+b=1
　・a=-3
これを解くと
　(a,b)=(-3,4)