No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こんばんは。
相関係数というのは、直線の傾き(つまり、a)とデータとの一致度を評価するものですから、傾きを固定して考えるときには相関係数の概念はないはずです。
bを求めたいのであれば、下記。
最小二乗法の考え方を忠実に守った手順です。
回帰直線の方程式は
y = ax+b
変形して
0 = ax+b-y
さて、データがn個あるとして、各データを(xk、yk)と表すことにします。
(kは、1からnまで)
一組のデータ(xk、yk)を代入したとき、εk だけ誤差が発生するとして、
εk = axk + b - yk
と表すことができます。
その二乗誤差は、
εk^2 = (axk + b - yk)^2
k=1からk=nまでのデータについての二乗誤差の合計は、
Σ[k=1→n] εk^2 = Σ[k=1→n](axk + b - yk)^2
これを最小にすればよいわけです。
ここで、aを定数としますが、データとして既知である xk と yk も定数です。
唯一、bだけが変数です。
よって、上の式をbで微分したものがゼロになれば、極小値を取ることになります。
Σ[k=1→n](axk + b - yk)^2 をbで微分したもの
= Σ[k=1→n] 2(axk + b - yk)・1
= 2・Σ[k=1→n] (axk + b - yk)
これがゼロになるためには、
Σ[k=1→n](b + axk - yk) = 0
ここで、 Σ[k=1→n]b = nb なので
nb + Σ[k=1→n](axk - yk) = 0
よって、
b = 1/n・Σ[k=1→n](yk - axk)
= 1/n[k=1→n](yk - axk)
= Σ[k=1→n](yk/n) - a・Σ[k=1→n](xk/n)
= [全部の点のy座標の平均] - [傾きa]×[全部の点のx座標の平均]
つまり、平均値(average)の関数を使うだけで、bを求めることができるということなのでした。
最後に、
相関係数ではありませんが、誤差の度合いを評価する方法について。
上のほうに書いた式
Σ[k=1→n] εk^2 = Σ[k=1→n](axk + b - yk)^2
ですが、
これをn-1で割って、平方根を取る、つまり、
√{1/(n-1)・Σ[k=1→n](axk + b - yk)^2 }
とすれば、縦方向(y座標)のばらつきの度合い(一次元データにおける標準偏差に相当)が出ます。
この回答への補足
sanoriさま。
ご教示頂いた通りやってみました。
式も概ね理解できましたし、a=1に固定した場合のbの値も分かりました。一次元方向のばらつきも求めました。
xyグラフ上に全点をプロットし、求めた直線(y=1x+b)を乗せてみて、ビジュアル的にも納得できました。
ありがとうございました。
今度は#1のソルバーの方もトライしてみたいと思います。
ご回答ありがとうございます。
パッと読んだところで、とりあえず分かったつもりになりました(笑)。
実はこれ、仕事(実験)の解析のところで使おうとしています。
あまり詳しくは書けませんが、xは試験片の処理前、yは処理後の値なのです。
xとyの関係。xを処理をすると、単に一定量増える(y切片がずれる)だけではないかという事が分かってきたのですが、目分量ではなく統計的に近似直線を求める方法を探していたのです。
「分かったつもり」で終わってしまうのか「近似直線とバラツキを把握できるのか」、結果については補足にてご報告致します。
暫しのお時間を。
No.1
- 回答日時:
ソルバーを使います。
EXCELのヘルプでソルバーと入力してください。
ソルバーのインストールも必要です。
インストール方法もヘルプに書いてあります。
(1)あらかじめ仮のbの値をいれておく。
(2)仮のbをつかってyを求める。
(3)Z=(真のy-計算のy)の2乗を求める。
#Zが負にならないようにするためです。
(4)ΣZが最小になるようにbを動かす。
#ここでbを求めるときソルバーを使います。
この回答への補足
mistery200さま。
ソルバー使えました。
そして#2でご教示頂いた方法と同じ解が得られました(あたりまえか)。
もっと勉強していけば、複数の変数、条件つきの変数を最適化する場合など、色々と使えそうですね。
大変役にたちました。
ありがとうございました。
さっそくの回答ありがとうございます。
”ソルバー”。
何者なのか分かりませんが使ってみます。
Excel、とても便利なのですが、決まりきった操作だけで、最近全然機能を開拓していません。
良い機会なのでトライしてみたいと思います。
結果は補足にてお伝えするつもりです。
暫しのお時間を。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 統計学 直線の傾き(回帰係数)から相関係数を計算できるのでしょうか? 2 2022/09/16 19:28
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 回帰直線 次のデータから集計表を作成し,以下の問いに答えよ。 2 2023/01/31 23:36
- 統計学 確率統計です。 1 2022/07/27 23:14
- 統計学 統計学の問題です よろしくお願いします 回帰直線 次のデータから集計表を作成し,以下の問いに答えよ。 1 2023/01/31 18:55
- 数学 8 件の住宅について, 駅からの徒歩時間 (分) と賃料 (万円) を調べたところ, (徒歩時間, 1 2022/12/18 18:09
- 統計学 確率統計でExcelの使い方を教えてください。 3 2022/07/27 19:21
- 数学 8 件の住宅について, 駅からの徒歩時間 (分) と賃料 (万円) を調べたところ, (徒歩時間, 2 2022/12/18 20:26
- 数学 数学?算数の問題です どのような解答になりますか? 2 2022/04/22 04:46
- 数学 下記の問題の解き方を解説して欲しいです! kは定数とする。次の直線は,kの値に関係なく定点を通る。そ 3 2023/04/17 21:24
- 工学 三相誘導電動機の比例推移に関する問題です。 定格出力200kW、4極、50Hzの巻線形三相誘導電動機 1 2023/05/28 12:29
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
近似曲線の数式を手計算で出し...
-
Σの添え字について
-
Π←これは一体?
-
シグマの記号の読み方
-
2重ΣΣのΣ記号は交換可能でしょ...
-
Σの下にくるk=1のkってなに...
-
平面の計算方法
-
Σk(k+1) k=1 式を教えて下さい ...
-
Σの上が2n
-
Σx^2と(Σx)^2の違いは?
-
数列の問題です。次の数列の和...
-
二重和(ΣΣ)の計算方法について
-
19 Σk k=6 の和を求めろという...
-
理系数学プラチカの45(2)のまた...
-
最小二乗法における有効数字に...
-
a1=1,an+1=an+3n-1 この条...
-
分散について
-
Σのk=2
-
数学で答えを教えて欲しいので...
-
調和数列の和なんですが。。。。。
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報