自然数の組には無限の降下列が存在しない？

自然数の組に対して、辞書式順序≫を次のように定義する。
(n1,m1) ≫ (n2,m2)
⇔ n1>n2 または (n1=n2 かつ m1>m2)
すると、
(n1,m1) ≫ (n2,m2) ≫ (n3,m3) ≫ ...
となるような無限降下列は存在しないことがいえる。

直感的に，(N,N)は無限に存在するから降下列は無限にある気がするのですが，なぜ無限にならないのでしょうか？

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/06/11 22:11

解説が言っているのは、(n,m)からはじまる降下列が無限降下列となるような自然数の組 (n,m) は存在しない。

どのような自然数の組(n,m)からはじまる降下列も無限降下列にはならずに高々有限の長さで止まる、ということだと思うのですが違うのでしょうか？

質問者さんは違う意味で解説をとらえられている気がしますが。
無限の降下列・・・降下列が無限にある？？？
無限降下列・・・降下列の長さが無限

この回答への補足

これは，下限が存在するってことをいってたんですね．
ずっと，上限が特定できるということを言ってるのかと勘違いしてました．
変な質問すみませんでした．

補足日時：2008/06/11 22:55

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/06/11 21:57

とりあえず

あなたのいう「無限降下列」の定義をどうぞ．

あなたの論法だと
「自然数の部分集合で最小値を持たないものがある」
ということになるかもしれません．

この回答への補足

回答読んで理解しました．これは，下限が存在するってことをいってたんですね．
ずっと，上限が特定できるということを言ってるのかと勘違いしてました．

補足日時：2008/06/11 22:45