有理関数体Q(√2)がQ上の代数拡大であることについて

この代数拡大を言うには，Q(√2)のすべての元がQ上代数的であることを言えばいいんですよね？

そこで，Q(√2)の任意の元はa+b√2 （a,bはQの元）と表せますので，このa+b√2に対して，

f(a+b√2)=0―(1)

となるような多項式Q[X]の元f(X)が存在することを言えばいいのだと考えました．

しかし，(1)を満たすようなQ[X]の元であるf(X)が見つかりません…

f(X)=X-(a+b√2)

のようなものも考えましたが，これは係数が有理数体Qの元になっていないので，Q[X]の元ではありませんし．
どのような多項式となるのでしょうか？

根本から考え方が違うのかもしれませんが，よろしくお願いします．

No.3 回答者： alice_38 回答日時： 2009/12/12 19:22

中学生のとき √ 記号を教わった理由

を思い出してみましょう。
一次方程式は加減乗除を使って解けたけれども、
二次方程式はそれだけでは解けなかったので、
新しい演算として √ が必要になった
のではありませんでしたか？
つまり、√ は、一次方程式の解ではなく、
二次方程式の解として現れる ということです。
そこで、二次方程式の解公式を思い出すと、
a+b√2 は、それによく似た形をしています。
=｛-(-2a)+√(8b~2)｝/2 と変形してみれば、
f(X) が二次式であることが明らかに
なるでしょう。

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2009/12/12 01:51

x=a+b√2として、x-a=b√2の両辺を2乗してみたらどうでしょう？

√2はQ上2次の元ですから、1次多項式では無理です。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/12 00:03

>(1)を満たすようなQ[X]の元であるf(X)が見つかりません…

もうちょっと考えようぜ。。。