曲線と直線の距離の最小値

曲線Cと直線Lがあり、点P、Qがそれぞれ曲線C、直線L上を動くとき線分PQの長さの最小値を求めよ。という問題ってよくありますよね。
点と直線の距離、を使うのも有効だと思うのですが、
曲線Cの点Pにおける接線の傾きと、直線Lと傾きが同じになるような点Pを探すという方法もあります。要は、直線Lと平行な曲線Cの接線を探し、そのときの接点が点Pになるということです。
感覚的には接点と直線の距離が、PQの最小値になるというのは分かるのですが、論理的に説明せよ、と言われると説明できません。どなたか説明お願いします。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2010/02/18 12:43

関数ｙ＝ｆ（ｘ）の最小値を求めるときにｆ’（ｘ）＝０となるところ、つまり傾きがｘ軸と同じになるところが候補になります。

ご質問のケースはこれをある角度で回転させたものとみればいいのではないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： 112233445 回答日時： 2010/02/18 13:28

どの程度までの論理性を求めているのか分かりませんが・・

次のようなのはどうでしょうか。
接点以外に、最小になる点が存在したとする。
その点は、平行線の外側にあるから、明らかに接点からの
距離より大きい。よって、接点からの距離が最小になる。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/18 14:11

#1 でも言われているけど, それは「無条件に正しい」とは言えない. 例えば

L = {(x, 0) | x ∈ R}
C = {(x, x^2-1) | x ∈ R}
を考えればわかる.
さらにいうと, 世の中には「連続だがいたるところ微分不可能」という曲線も存在したりするので, そもそも接線が存在するとは限らないこともありうる.