y=e^x/xとy=3のグラフを使って

その共有点を調べ、e^x/x-3=0の異なる解の個数を求める問題なのですが、e^xのグラフ、及びいまいち問題の意図が掴めないので投稿しました。

どうか教えてください。お願いします(^人^)

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/02/18 22:40

グラフは概形を描き所々の座標を計算しそこを通るように滑らかに曲線を引けば良いですね。

添付図のように
y=e^x/x(黒実線)のグラフは、
y=e^x(黒点線)とy=1/x(水色点線）のグラフを掛け合わせたもの（黒線グラフ）
になります。
y=1/xのグラフは描けますね。
x=-3,-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2,3,4 に対してyの値は
y=-1/3=-0.33,-1/2=-0.5,-1,-2,-∞/+∞,2,1,1/2=0.5,1/3=0.33,1/4=0.25
ですね。
y=e^xのグラフは指数的に増加する曲線だということは分かりますね。
e=2.71828…なのでグラフの通過点の計算ではe=2.7で近似すれば充分でしょう。
x=-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2,3　に対してy=e^xとの値は
y=1/2.7~2=0.14,1/2.7=0.37,1/√2.7=0.6,1,√2.7=1.6,2.7.2.7^2=7.3,2.7^3=19.7
ですね。

上のy=1/xとy=e^xのグラフを掛け合わせたy=e^x/xの値は
x=-2,-1,-1/2,0,1/2,1,2,3　に対して
y=-0.1,-0.37,-1.2,-∞/+∞,3.3,2.7,3.7
以上のxに対してy座標をとって滑らかに結べばy=e^x/xのグラフの概形が掛けるでしょう。

描いたy=e^x/xのグラフ（黒実線）とy=3のグラフ（赤線）のグラフを重ねて描けば、交点が2つできますね。
つまり、方程式((e^x)/x)-3=0の解は2個存在することが分かりますね。

y=(e^x)/xのグラフを描けないという前に、上のように飛び飛びのxに対してyを計算すれば、グラフは描けます。そして飛び飛びの点のｘ以外のyは指数関数グラフの大雑把な形状、1/xのグラフの大雑把な形状を理解しておけば、計算した(x,y)座標を通る以外は、グラフの概形で延長して描くようにすれば充分でしょう。

この回答へのお礼

とても分かりやすい説明とグラフまで添付してくださりありがとうございます！＾＾
また質問をすると思うのでもし見つけたら力を貸してください！
ありがとうございました！(^u^*)

お礼日時：2010/02/19 11:52

No.3 回答者： uehashu 回答日時： 2010/02/18 21:07

A.1 のものです. 訂正を.

>2. x → -∞ で (e^x)/x → ∞ .

x → -∞ で (e^x)/x → 0 ですね, 失礼しました.

No.2 回答者： LightOKOK 回答日時： 2010/02/18 20:51

>e^xのグラフ、及びいまいち問題の意図が掴めないので投稿しました。

問題の意図は、グラフを描かせ、それから２つのグラフの交点を
調べさせることで、方程式の実数解の個数を求めさせること。

まず、グラフをしっかり描きましょう。
（１）y'を計算する。
（２）増減表をつくる。
（３）グラフの形を大きくつかむ。

（１）
y'=(x-1)e^x/x^2
y'=0となるのは、x=1だから、x<1,x=1,1<x で分けて増減表をつくる。
（２）
x=1　の前後で y'　の符号が負から正に変化するから、x=1　で
極小となる。極小値は、x=1　をy　に代入して求める。

（３）
lim[x→+∞]e^x/x=+∞
lim[x→+0]e^x/x=+∞

x=-t　とおけば、
lim[x→-∞]e^x/x
=lim[t→+∞](-e^-t/t)
=0

lim[x→-0]e^x/x
=lim[t→+0](-e^-t/t)
=-∞

これでグラフを描けば、直線y=3　との交点は２個あるのが
分かります。

No.1 回答者： uehashu 回答日時： 2010/02/18 20:06

e^x のグラフが分からないのは致命的ですが, 今回はあまり関係ないです.

y=(e^x)/x と y=3 の共有点を求めることは (e^x)/x - 3 = 0 の解を求めることと同義で,
共有点の個数と解の個数も一致します.

y=(e^x)/x のグラフは, 微分して極小値を求めて増減表を書き, 漸近線を得ればわかります.
それと y=3 を一緒のグラフにプロットすれば, 解の個数がわかります.

ヒントとして, 以下を挙げておきます.
1. e はだいたい2.7である.
2. x → -∞ で (e^x)/x → ∞ .
3. x → -0 で (e^x)/x → -∞ .
4. x → +0 で (e^x)/x → ∞ .
(2つ目のヒントはロピタルの定理でも使えば簡単にわかります)