放物線 (x-y)^2-2(x+y)+1=0 の直交する二接線の交点の

放物線　(x-y)^2-2(x+y)+1=0　の直交する二接線の交点の軌跡を以下の方針で求めよ。

(a)傾きmの接線を求めよ。
(b)傾き-1/mの接線を求めよ。
(c) (a),(b)の交点を求め、その軌跡を求めよ。

という問題なのですが、接点が与えられていないので接線を具体的に求めることはできないのかなぁ
と思ったのですが、この考えは間違ってますかね？
もしできるなら、そのやり方を教えていただきたいです。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2010/08/11 23:32

(x-y)^2-2(x+y)+1=0

は放物線ではありません。

この回答への補足

問題文に放物線と書いてあったのですが・・・（・ω・`）

補足日時：2010/08/11 23:47

No.2 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/08/11 23:59

(1) 接線を　y = mx + a　とする

{x-(mx+a)}^2 - 2{x+(mx+a)} + 1 = 0

この二次方程式が重解をもつのだから、判別式 = 0
判別式 = 0は、aとmの式になる。
それを a = ～　の形にする。

(2) (1)と同様

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/08/12 09:43

＞問題文に放物線と書いてあったのですが・・・（・ω・`）

問題文が正しい。
ある放物線をπ/4だけ回転したものに過ぎない、それを放物線族という。
そんな事も知らない回答者は無視したらいいだろう。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2010/08/12 09:49

(a)

(x-y)^2-2(x+y)+1=0　…(1)
微分をとって
2(x-y)(dx-dy)-2(dx+dy)=0
dy/dx=(x-y-1)/(x-y+1) …(2)

傾きmの接線の接点の座標を(x0,y0)とすると
(x0-y0)^2-2(x0+y0)+1=0　…(3)
(x0-y0-1)/(x0-y0+1)=m …(4)
(3),(4)から
x0=1/(m^2-2*m+1),y0=m^2/(m^2-2*m+1)
従って傾きmの接線は
y=m(x-x0)+y0=mx+y0-mx0
y=mx+m/(m-1) (m≠1)…(5)

(b)
同様に傾き-1/mの接線の接点の座標を(x1,y1)とすると
(x0-y0)^2-2(x0+y0)+1=0　…(6)
(x0-y0-1)/(x0-y0+1)=-1/m …(7)
(6),(7)から
x1=m^2/(m^2+2m+1),y1=1/(m^2+2m+1)
従って傾きmの接線は
y=(-1/m)(x-x1)+y1=-(1/m)x+y1+x1/m
y=-(1/m)x+1/(m+1) (m≠0,-1)…(8)
m=0の時を含める表現にするなら
my=-x+m/(m+1) (m≠-1) …(8')
この表現なら m=0の時の「接線 x=0」を含められます。

(c)
(5),(8)の交点(X,Y)を連立方程式を解いて求めると
X=-m/(m^2-1), Y=m/(m^2-1)
mを消去し交点の奇跡を求めると
Y=-X
ここで(5),(8')が定義される為にはm≠±1であるが
m=±1の場合はX,Yは±∞になるので特に考慮しなくても良い。
流通座標に直すと奇跡は
y=-x
となりますね。

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/08/12 11:09

この方針でやったら、与えられた曲線の方程式が簡単じゃないから、計算が面倒なのは見えてるし、方針自体も回りくどくて下手。

こんなのは、いきなり求める事ができる。

先に、この方程式はある放物線をπ/4だけ回転したものである事は示したが、それでやってみよう。

条件式は、x＾2＋y＾2-2xy-2x-2y＋1＝0　であるから、xとyは対称だから、その回転角はπ/4　である事は直ぐわかる。
よって、新座標を点(Ｘ、Ｙ)とすると、回転の公式から、x＝(Ｘ-Ｙ)/√2、y=(Ｘ+Ｙ)/√2。
これを条件式に代入すると、2Ｙ＾2=2√2Ｘ-1　‥‥(1)
接線の交点を(α、β)とすると、接線の方程式は　Ｙ=m(Ｘ-α)+β　‥‥(2)
(2)を(1)に代入すると(少し、計算がうるさいが)　
2m＾2x＾2+2{2(β-mα)m-√2}x+2(β-mα)＾2+1=0　これが接する(=重解を持つから)判別式=0
結果は　(4√2α＾2-2)m＾2-4√2βm+2=0.　mは2つの接線の傾きを表すから、2接線が直交するので、2解の積=-1.
つまり　α=0(β軸を表している)　これは座標をπ/4だけ回転したものだから、元の座標に直すと　軌跡の方程式は　y=-x。
後は、軌跡の限界を考えると良い。


まあ、いずれにしても計算は煩雑。その原因は　与えられた曲線の方程式が面倒だから。
勉強のために、曲線を　4x＾2+y＾2=1でやってみたらいいだろう。

No.6 回答者： noname#152421 回答日時： 2010/08/13 17:02

(a)～(c)の手順を無視して、ズルします。

x-y=X,x+y=Yとおくと（プラス45度回転して√2倍する一次変換）、XY平面上でX^2=2Y-1となる。

これは下に凸の放物線で、X軸が準線。

準線は丁度質問文に書かれている性質（直行する二接線の交点の軌跡）をもつ。

準線(Y=0)を逆変換（マイナス45度回転して1/(√2)倍する）すると、x+y=0という直線が求める軌跡。

答案にこのまま書いても点数はもらえないと思いますけど、参考まで。