a＞0とする。曲線y=sin2x(0≦x≦π/2）

a＞0とする。曲線y=sin2x(0≦x≦π/2）とx軸で囲まれた部分の面積Sを、曲線y=asinxが２等分するように定数aの値を定めよ。

回答お願いします。

No.5 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/01/04 00:20

グラフを書くと良いです。

考えやすくなります。
間違いが少なくなります。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/03 21:32

#2です。

A#2の最後から2行目に計算ミスがありましたので訂正します。

>a/2=1-1/√2=(√2-1)/2
>∴a=√2-1

a/2=1-1/√2=(√2-1)/√2
∴a=(√2-1)√2=2-√2

#3さんと同じ結果ですね。

検算)
a=2-√2,S=1
y=a*cos(x)=(2-√2)sin(x)
b=arccos(a/2)=arccos((2-√2)/2),
cos(b)=a/2=(2-√2)/2, cos(2b)=2cos^2(b)-1=(2-√2)^2/2-1=2-2√2

∫[0,b] sin(2x)-a*sin(x) dx=[-cos(2x)/2+a*cos(x)](x=b)-[-cos(2x)/2+a*cos(x)](x=0)
=-cos(2b)/2+a*cos(b)+(1/2)-a
=-(2-2√2)/2+(2-√2)(2-√2)/2+1/2-(2-√2)
=-1+√2+(3-2√2)+1/2-2+√2
=1/2=S/2
となり正しい事が確認された。

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/01/03 18:07

#1です。

#2さんと答えが違ってしまったので、簡単に。

以下、交点の座標を x＝ bとしておきます。

∫[0,b] (sin(2x)- a* sin(x)) dx を先にそのまま計算してしまいます。

∫[0,b] (sin(2x)- a* sin(x)) dx
＝ ∫[0,b] sin(2x)dx - a*∫[0,b] sin(x)dx
（前の項は 2x＝ uとでも置いて置換積分、後の項はそのまま積分して）

＝ 1/2* { -cos(2b)+ 1 }- a*{ -cos(b)+ 1}
＝ 1/2* { -cos(2b)+ 2a* cos(b)- 2a+ 1 }

これが y＝ sin(x)と x軸で囲まれた面積＝ 1の半分となればよいので、
{　}の中が 1になればよいことになります。
-cos(2b)+ 2a* cos(b)- 2a+ 1＝ 1
cos(2b)- 2a* cos(b)+ 2a＝ 0

ここからは、cos(2b)を倍角の公式で変形してから、cos(b)＝ a/2を代入します。
すると、aの 2次方程式となります。
方程式の解は 2つ出てきますが、小さいほうの値しか解になりえません。
（なぜ、このことが言えるのかは、書き出した条件をよくみればわかります。）

結果は、a＝ 2- √2となりました。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/01/03 15:33

y=sin(2x)(0≦x≦π/2）…(A)とy=a*sin(x)…(B)

の交点の内、原点以外の交点のx座標をx=b(0<b<π/2)とすると
a*sin(b)=sin(2b)=2sin(b)cos(b)
sin(b)≠0なので
a=2cos(b), cos(b)=a/2…(C), b=arccos(a/2)

S=∫[0,π/2] sin(2x)dx=[-cos(2x)/2] [x=0,π/2]=(1+1)/2=1
(B)がSを2等分するとき
∫[0,b] {sin(2x)-a*sin(x)}dx=[-cos(2x)/2+2cos(b)cos(x)] [x=0,b]
=-cos(2b)/2+1/2+2cos^2(b)-2cos(b)
=-(1/2)(2cos^2(b)-1)+1/2+2cos^2(b)-2cos(b)
=cos^2(b)+1-2cos(b)={cos(b)-1}^2
=S/2=1/2
cos(b)-1≦0なので
cos(b)-1=-1/√2
(C)を代入
a/2-1=-1/√2
a/2=1-1/√2=(√2-1)/2
∴a=√2-1

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2011/01/03 12:08

こんにちわ。

まずはグラフを描いて、その位置関係（グラフの上下）を把握しないといけませんね。
交点の x座標は一度 x＝αとでも置いて考えればよいと思います。

ひとまず、αを用いた形で面積を計算します。
あとは、αについての関係式（「交点である」ということから）を用いると、
面積を aで表すことができるはずです。

過去に同様の問題もありましたので、その URLもつけておきます。
参考までに。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5258166.html

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5258166.html