成分ごとに計算できない行列の随伴行列の求め方

n次エルミート行列Aとｎ次単位行列Ｅに対し


(E - i*A)/ (E + i*A)
の随伴行列が

(E + i*A)/ (E - i*A)

だということを証明するにはどうしたらいいでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/02/03 12:45

(E - iA) / (E + iA) = (E -iA) (E + iA)^-1

のことであるとして以下を考えます。また、行列 X の随伴行列を X^* と表すために、掛け算の記号は省略します。


まず、(E + iA) (E + iA)^-1 = E の両辺の随伴行列を考えます。

((E + iA) (E + iA)^-1)^* = E

ですから、

(E + iA)^-1)^* (E - iA) = E

となります。つまり、(E + iA)^-1)^* は (E - iA) の逆行列になっていて、

(E - iA)^-1 = (E + iA)^-1)^*

です。


次に、ある行列 X と Y が可換であるならば X^-1 と Y もまた可換であることを確かめておきます。これは、XY = YX の両辺に左右から X^-1 をかけると YX^-1 = X^-1Y が得られることでわかります。ここで、X = E - iA, Y = E + iA とすると、X と Y は可換ですから、

(E - iA)^-1 (E + iA) = (E + iA) (E - iA)^-1

が成り立ちます。


これで準備完了です。後は計算するだけで証明完了となります。

((E - iA)(E + iA)^-1)^*

= ((E + iA)^-1)^*(E - iA)^*

= (E - iA)^-1 (E + iA)

= (E + iA) (E - iA)^-1

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
役に立ちました。

お礼日時：2011/02/03 14:09

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/02/03 12:32

「(E - i*A)/ (E + i*A)」ってどういう意味ですか? 「分母」に行列があるような「分数」は, 通常定義されていませ

んよね.

この回答への補足

kaorineさんのおっしゃる(E -iA) (E + iA)^-1 のことを表現しようと思って間違えました。
すみません。

補足日時：2011/02/03 14:10