複素数と複素平面の軌跡と極形式についての質問（1）

下記の解き方を詳しく教えて下さい。
よろしくお願いいたします。

（1）次の式を満たす点zの軌跡を求めよ。
|3z-2i|=|z+2i|

（2）√3+iを極形式で表せ。

（3）次の複素数を極形式で表せ。
(1)1+i
(2)-3+√3i
(3)-4
(4)2i

よろしくお願いいたします。

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2011/02/15 08:49

(2)(3)は単なる計算にすぎないし

(1)もNo.2さんの方法が普通．

けど，幾何にこだわってみる

|3z-2i|=|z+2i|
3|z-(2/3)i|=|z-(-2i)|
だから
zは(2/3)iからの距離と，-2iからの距離が1:3である点
すなわち，
(2/3)iと-2iの1:3の内分点と外分点を直径の両端とする円
（いわゆるアポロニウスの円）
(2/3)iと-2iの1:3の内分点は0
(2/3)iと-2iの1:3の外分点は2iだから
求める円は中心がiで半径が1の円，つまり |z-i|=1

問題は「アポロニウスの円」を既知としていいかということだけど
大学だったいいんじゃない（というか，アポロニウスの円を知らない
大学の数学教員がいたら，きわめて嘆かわしい）かと思うけど
高校だったら危険かな（高校教師なら知らなくても驚かない・・・orz）

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/14 13:48

失礼。

(1)の中心は、1 じゃなく、i でした。
｜z - i｜ = 1.

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/02/14 00:40

(1)

z = x + y i (x,y は実数) と置くと、
|3z - 2i| = |z + 2i| は
√{ (3x)^2 + (3y - 2)^2 } = √{ x^2 + (y + 2)^2 } と書けます。
両辺二乗して、展開整理すると、x^2 + (y - 1)^2 = 1。
複素平面上、1 を中心として半径 1 の円　と言えばよいか、
z に戻して |z - 1| = 1 と書くのがよいか…

(2)(3)
複素平面上に点を描いてしまったほうが、
話が早いです。
三平方の定理を使って、絶対値が出るし、
質問の例であれば、偏角は図を見れば一発でわかる。

No.1 回答者： noname#157574 回答日時： 2011/02/13 23:34

（1）分かりません。

（2）√3+i＝2（（√3）/2＋（1/2）i）＝2（cos π/6＋i sin π/6）
（3）（2）と同じ方法で直せます。