平行四辺形の対角線の交点を頂点とする三角形の面積

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質問者：Mathmethod
質問日時：2011/03/21 11:01
回答数：5件

中１の数学の問題です。（回答解説をお願いします。）
図において、四角形ABCDは平行四辺形で、ACとBDの交点をOとし、辺AB上でAE:EB=1:2となる点をE、辺AD上でAF:FD=2:1となる点をFとします。また、EOとDC、FOとBCの交点をそれぞれG、Hとします。
（１）四角形EHGFは平行四辺形であることを証明しなさい。
（２）四角形ABCDの面積をSとするとき、△EFOの面積をSを用いて表しなさい。

よろしくお願いします。

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回答 (5件)

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No.4ベストアンサー

回答者： tomokoich
回答日時：2011/03/21 13:35

中一（もうすぐ中二？）で相似比を使うことはできないでしょうか

△AEFは平行四辺形ABCDの（底辺が2/3高さが1/3で三角形なので面積は1/2ということから）1/9S
他の△FDG,△GHC,△EBHも同じように1/9Sなのでこれを足したのが4/9S
平行四辺形EHGFがS-4/9S=5/9Sで△EFOはさらにその1/4なので5/36S
平行四辺形の何分のいくつかと考えてしまってはいけないでしょうか

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この回答へのお礼

tomokoichさん：ありがとうございます。

なるほど、相似比ですね。

高さを辺ABの比と一致する相似比の考え方で数式化しているのですが、
単純に面積の相似比での方法だと中学受験のレベルとあまり変わらなく
なってしまう（図形自体の難解性を別として）ような気がしていまして、
教え方として躊躇しています。

使うことが出来ないか？と仰せであったので、ググってみますと相似比はどうやら中３レベルみたいですね？

使っている教科書を見てみることにします。

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お礼日時：2011/03/21 14:13

No.5

回答者： puusannya
回答日時：2011/03/21 16:42

多少お役に立てればと思い書かせていただきました。

公立で使っている教科書では、２年生の２学期に三角形の合同を習い、
その後平行四辺形について習う順になっています。

ですから１年生が終わった時点で２年生のカリキュラムが半ば以上終わっていることになり
相当早いといえましょう。

で、（１）の証明ですが、平行四辺形の対角線は互いに他の中点を通る。
別の言い方をすると、２本の対角線は中点で交わる。を使って、

△ＡＥＯと△ＣＯＧの合同を示し、ＥＯ＝ＧＯ
同様にしてＦＯ＝ＨＯ

四角形ＥＨＧＦの対角線は互いの中点で交わっているから、平行四辺形である。と結論付けます。

教科書によれば、例題、もしくは練習問題としてあるものがあります。
もちろんこの形でなければならないというわけではありませんので、
あくまでもご参考に。

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この回答へのお礼

puusannyaさん：ありがとうございます。

数研出版　体系数学１　幾何編を使っています。
この教科書では合同、平行四辺形までは出てきます。

中２の範囲も（一部数Aも）入っていますが、これを中１で履修しています。

先の相似比は、中学受験の際に塾で学んではいますが、数学の先生が「一旦忘れろ」と言い、
禁じ手と思ったみたいです。

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お礼日時：2011/03/21 17:04

No.3

回答者： toraneko75
回答日時：2011/03/21 11:36

(1)はいろんなやり方があると思いますが

△BEH≡△DGFと△AFE≡△CHGを証明するのが簡単だと思います。
(2)もいろいろやり方はありますが、
△ABC=1/2Sであることを使って、△BEH=(BH/BC)×(BE/BA)×△ABCで△BEHを求める
同様にして△DGF,△AFE,△CHGを求めて
Sから引いたら四角形EHGFが求まります。
△EFOはその1/4です。

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この回答へのお礼

toraneko75さんへ：ありがとうございます。
windwaldさんへ：中１の子供を持つ親からの投稿です。
錆び付いた頭を再起動せねばならず、皆様のお知恵を拝借したく投稿致しました。（ご容赦）
FX-CFDさんへ：公立の中１では無理ですか・・・これは私学の中１のテスト問題です。

（１）は平行四辺形の性質から、ご指摘の三角形が同じ形であることが証明出来るので、
　　　その性質を利用して四角形EFGHの対辺が同じ長さであることを証明して平行四辺形
　　　であると証明出来ます。

本人もこれはOKだったんですが、問題は（２）でした。

（２）基本的には平行四辺形ABCDの面積Sは　S=BCxh（高さをhとする。）となる。
　　（１）の結果と相まって、
　　　△EFOの面積=(S-1/3BCx2/3h-2/3BCx1/3h)/4で求められ5/36Sとなると求めました。

問題は、中１（私学）の数学で高さhとし回答するのが適切なのかどうかが？？？なんですね。
そういう教え方で良いものやら・・・震災の影響で学校に登校出来ない状態の中、先生に確認出来ないものですから。
よろしくお願いします。