No.2
- 回答日時:
s∈D' における Re(s) の下限を r とすると、
1 < t < r となるような定数 t がとれる。
この t について、|1/nのs乗| < 1/nのt乗
が成り立つ。
ここが、前述の「Re(s) について単調減少」の意味。
よって、Σ1/nのt乗 が収束するならば、
優級数収束定理により、
Σ1/nのs乗 は、s∈D' で一様絶対収束する。
すなわち、s∈D では広義一様収束することになる。
ありがとうございます。
> s∈D' における Re(s) の下限を r とすると、
{s∈C;Re(s)>1}は開集合だから有界閉集合D'が採れD'は有界だから下限rが存在し,
> 1 < t < r となるような定数 t がとれる。
実数の稠密性からそのような定数tが採れますね。
> この t について、|1/nのs乗| < 1/nのt乗
> が成り立つ。
納得です。
> ここが、前述の「Re(s) について単調減少」の意味。
> よって、Σ1/nのt乗 が収束するならば、
> 優級数収束定理により、
優級数収束定理とは
「φ≠A,B⊂Cで{f_n}がAからBへの関数列とする。この時
∃{M_n}⊂C;∀n∈N,∀z∈Aに対して,|f_n(z)|≦M_n且つΣ_{n=1}^∞M_n∈C⇒Σ_{n=1}^∞f_n(z)はA上で絶対一様収束する。特にこのΣ_{n=1}^∞M_nをf_n(s)のmajorant級数と呼ぶ」
ですよね。
> Σ1/nのs乗 は、s∈D' で一様絶対収束する。
> すなわち、s∈D では広義一様収束することになる。
今,級数Σ_{n=1}^∞ 1/n^sの広義一様収束ではなく,関数列{1/n^s}の広義一様収束を示しているのですが、、、
どうすれば関数列{1/n^s}の広義一様収束が言えますでしょうか?
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