数学の問題の解法を教えてください

定数aは実数である。関数y=|(x^2)-2|とy=|2(x^2)+ax-1|のグラフの共有点はいくつあるか。aの値によって分類せよ。

↑この問題の解法教えてくださいお願いします

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2011/06/10 23:00

要するに

|(x^2)-2|=|2(x^2)+ax-1|
の実数解の個数を調べろということです。

これは両辺を2乗してしまえば簡単です。2乗すれば絶対値の記号をとれます。
{|(x^2)-2｝^2={2(x^2)+ax-1}^2
難しい4次方程式に見えますが、展開せずに移項すれば{}^2-{}^2の形になるので簡単に因数分解できます。二つの2次方程式の解の個数を調べればよいのですが、両方の方程式の解の一つが一致してしまう可能性がありますのでご注意ください。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2011/06/11 06:13

次のようにaの場合分けして

グラフを描いて補助にしながら
絶対値をはずして2組の放物線のグラフを確定してそれらの交点のx座標である2次方程式の解の個数を求めていけば良いでしょう。

aの場合分けと解の個数
a<-(3/2)√2の時 4個　(2個 -√2<x<√2, 2個 √2<x)
a=-(3/2)√2の時 3個 (x=√2, 2個 -√2<x<√2)
-(3/2)√2<a<-2の時 4個　(-√2<x<√2)
a=-2の時　3個 (x=1, 2個 -√2<x<√2)
-2<a<2の時　2個 (-√2<x1<0, 0<x2<√2)
a=2の時　3個 (x=-1, 2個 -√2<x<√2)
2<a<(3/2)√2の時 4個 (-√2<x<√2)
a=(3/2)√2の時 3個 (x=-√2, 2個 -√2<x<√2)
(3/2)√2<a の時 4個　(2個 -√2<x<√2, 2個 x<-√2)

[別解] 2つのグラフy=|f(x)|=|x^2-2|,y=|g(x)|=|2x^2+ax-1|の交点数に注目すれば、
絶対値を自乗して絶対値をなくした
y=f^2(x)=(x^2-2)^2とy=g^2(x)=(2x^2+ax-1)^2
のグラフの交点のx座標は一致します。これを利用して
g^2(x)-f^2(x)=(g(x)+f(x))(g(x)-f(x))=p(x)q(x)=0
2つの2次方程式
　p(x)=g(x)+f(x)=3x^2+ax-3=0
　q(x)=g(x)-f(x)=x^2+ax+1=0
の実数解の合計個数を判別式を使ってaで場合分けして考えれば良いでしょう。
結果は上の場合分けの解と同じになります。