展開と因数分解

とても基本的な質問ですが、中学高校で習う計算問題の、展開と因数分解の意味を教えて下さい。
計算はできるのですが、もし、問題に『展開せよ』が間違えて『因数分解せよ』でも、絶対に気付かないと思います。
私の理解では、因数分解がカッコがあって、展開はカッコがないぐらいしか分かっていない状態です。
そもそも、展開したり、因数分解することによって何が分かるのでしょうか。
さっぱり分からないので、どうぞよろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： 2718281828 回答日時： 2003/10/30 13:38

同じく中学で習う素因数分解（素・因数分解）も因数分解の一つですよね。

あれは、30 = 2×3×5 というものでしたが、因数分解も同じように因数の積にすることだと、とりあえずそう覚えれば勘違いはなくなるでしょう。

さて「展開する」の意味ですが、これは和の形式で表現することです。「分解する」は、積の形式で表現することです。

　f(x) = a + bx + cx^2 + dx^2 … ：展開（Taylor展開）
　f(x) = (x + a)(x + b)(x + c) …；分解（因数分解）

ということで考えると、

　 (a + b)x → ax + bx；展開
　 ax + bx → (a + b)x；分解

ということになりますが、項を括弧で括る行為に「分解」という日本語を使うのは不自然ですよね。それは「因数分解≠括弧で括る」ではないからです。考えている数式を"ひとかたまり"として考えて、その"ひとかたまり"を「因数の積で表現する」ことが、「因数分解」なのです。そういう考え方の背景は、数式上には表れてきません。結果としての「括弧で括った」行為を「分解した」と思うと混乱しますね（ちなみに、通常の口語では、「括弧を外す」「括弧で括る」を、「ばらす」「まとめる」と言っています）。


さて、因数分解をする意義ですが、他の回答に私から補足することはありません。ただ、単に数式の変形の一環として項をばらしたりまとめたりする行為は、打ち消し合う項を見つけ出して、式を簡単にするために行うことが多いですね。

この回答へのお礼

ありがとうございました。「分解する」の言葉の説明が、すごく分かりやすかったです。何で今まで分からなかったか、分かるような気がしてきました。

〉「展開する」の意味ですが、これは和の形式で表現することです。「分解する」は、積の形式で表現することです

ここをしっかり覚えておきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/10/30 15:25

No.6 回答者： hinebot 回答日時： 2003/10/30 16:38

#4(#1)です。

>>y=(x+a)(x+b)-(x+a)(x-a)…(1)
>（ｘ+a)をAとして、
>=A(x+b)-A(x-a)
>=Ax+Ab-Ax-Aa
>=A(x+b-x-a）
>=A(b-a)
>よって、y=(x+a)(b-a)
>になるかと思うのですが、これは間違ってるんでしょうか。

残念ながら間違ってますね。
>=Ax+Ab-Ax-Aa
のところの最後は-Aaではなく+Aaです。
>=A(x+b)-A(x-a)
ですから最後の項は(-A)×(-a)で、+Aaになります。
マイナス×マイナス＝プラス　でしたね。
なので、正しくは
x+a=Aとして
y=(x+a)(x+b)-(x+a)(x-a)
=A(x+b)-A(x-a)
=Ax+Ab-Ax+Aa
=A(x+b-x+a）
=A(b+a)
となります。

>式(1)をみて、Aで置き換えたりせずに、さっと計算して式(2)にできるようにするのは、これは慣れしかないですか？

そうですね。Aで置き換えることを頭の中で行えるようになればしめたものですけど。

この回答へのお礼

初歩の初歩ですね、どうもすいませんでした。
よくやってしまうミスなので、今後気をつけます。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/10/31 12:18

No.4 回答者： hinebot 回答日時： 2003/10/30 12:28

蛇足ですが、#2さんの例

>y=(x+a)(x+b)-(x+a)(x-a)…(1)
>=ax+bx+ab-a^2…(2)
>=(x+a)(b-a)…(3)

は間違ってます。
正しくは、

>y=(x+a)(x+b)-(x+a)(x-a)…(1)
>=ax+bx+ab+a^2…(2)
>=(x+a)(b+a)[=(x+a)(a+b)]…(3)

となり、
「x=-a又はa=bのとき常にyは0になる」ではなく
「x=-a又はa=-bのとき常にyは0になる」となります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。質問ですが、中学のときに習った因数分解の方法で上の問題を解くと、
>y=(x+a)(x+b)-(x+a)(x-a)…(1)
（ｘ+a)をAとして、
=A(x+b)-A(x-a)
=Ax+Ab-Ax-Aa
=A(x+b-x-a）
=A(b-a)
よって、y=(x+a)(b-a)
になるかと思うのですが、これは間違ってるんでしょうか。あと、式(1)をみて、Aで置き換えたりせずに、さっと計算して式(2)にできるようにするのは、これは慣れしかないですか？

お礼日時：2003/10/30 15:19

No.3 回答者： i536 回答日時： 2003/10/30 10:40

>そもそも、展開したり、因数分解することによって何が分かるのでしょうか。

時計、パソコン、料理、衣服・・などどういう風に作られているか
興味を持たれた場合、これらを分解して部品に分けて調べませんか？

上と同様に、数式を掛け算(X)を使って部品別に分けることを因数分解といいます。
因数分解する前の数式のままでは見えなかった性質が、
因数分解してから、その掛け算を構成している個別の部品をひとつひとつしらべることで
くっきりと浮かび上がってくる場合が多いので、数学では多用します。

一方、逆に、掛け算(X)を使って部品別に分けた数式から、
掛け算(X)を外して足し算(+)の形にして数式を調べることを展開といいます。
数式を展開することで、因数分解の場合と同様に、
展開する前の数式では見えなかった性質が
くっきりと浮かび上がってくる場合も多いので、これも数学では多用します。

まとめると、次のようになります。
数式を掛け算を使って、ばらばらにするのを因数分解、
一方、数式を足し算をつかって、ばらばらにするのを展開といいます。
数式をばらばらするのは対象を細かくして調べやすくするためです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。カッコをとる＝足し算の形にする、カッコでくくる＝掛け算の形にする、ということでいいんでしょうか。因数分解のほうだと、色々な性質が見えてくるような気は確かにするのですが、展開した式は私には意味不明になってしまいます。展開することから浮かび上がってくる色々な性質とは、例えばどのようなものがあるのでしょうか。

お礼日時：2003/10/30 15:05

No.2 回答者： daisangenn 回答日時： 2003/10/30 10:08

展開や因数分解を行う理由はいろいろあると思います。

展開は式を簡単にするために,因数分解は式の特徴を知るために行うことがあります.

(例)
y=(x+a)(x+b)-(x+a)(x-a)…(1)
=ax+bx+ab-a^2…(2)
=(x+a)(b-a)…(3)

となります。(1)だと少し複雑です.x^2の項もあります.これを展開すると(2)のようにx^2の項がなくなり少しすっきりします。これを因数分解して(3)式のようにするとx=-a又はa=bのとき常にyは0になることが分かります.（yの式の大きな特徴ですよね.）

あとは、いろんな問題を解くときに又は回答を見る時に何を知りたくて展開又は因数分解をしたのか考えるようにすると展開や因数分解を行う理由が見えてくると思います.

この回答へのお礼

ありがとうございました。因数分解で式の特徴が分かるとは、なるほど！という感じです。でも、展開してもあまり簡単になったような気はしません。なんだかうだうだ長くなって、私には意味不明になります。展開された式を見て、数学ができる人は簡単だと思えるんでしょうか。

お礼日時：2003/10/30 14:58

No.1 回答者： hinebot 回答日時： 2003/10/30 09:36

ごく簡単にいうと

展開…かっこをはずすこと
因数分解…かっこでくくること
です。

(x-a)(x-b) ⇔ x^2-(a+b)x+ab
で、(x-a)(x-b) から x^2-(a+b)x+abの形にすることが展開、x^2-(a+b)x+ab　を(x-a)(x-b)にすることが因数分解です。

この回答へのお礼

アドバイスありがとうございました。展開＝カッコをはずす、因数分解＝カッコでくくる、しっかり覚えておきます。

お礼日時：2003/10/30 14:51