多項式環の剰余環の整閉性

下で公開されている文書「Dedekind環と離散付値環」の中の問題です。
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~taguchi/nihongo …

問1.10. k を体とし、α,β,γ ∈ k とする。A=k[x, y]/(y^2 -(x-α)(x-β)(x-γ)) とおく。このとき、次の事を示せ。
(1) A の分数体はK = A=k(x)[y]/(y^2 -(x-α)(x-β)(x-γ)) である。
(2) A が整閉整域であるためには、α,β,γ が相異なることが必要十分である。

(2) はどうやって解けばよいのでしょうか。
ヒントだけでもお教えていただけましたらたいへんありがたいです。
どうぞよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： a_t_goo 回答日時： 2011/09/09 02:18

まず、問題が若干おかしいようです。

必要性はいつでも言えますが、kの標数が２の時には、一般には十分性は言えないようです。（例えば、kが標数２の完全体ならば、Aは決して整閉整域になりません。）以下ではkの標数は２でないとします。

（２）の解き方ですが、もしその前の問1.9が解けたのであれば、それとほとんど同じ考え方でできると思います。（d(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)とおけば、K=k(x)(√d(x))です。）一つの方針を書いておくと：

・K=k(x)+k(x)yを示す
・A=k[x]+k[x]yを示す
・必要性は、例えばα=βとすると、y/(x-α)がA上整だがAに含まれないことを、上の表示を用いて示せばよい
・以下十分性の方針
・s: x|-->x, y|-->-y （つまり、s: a(x)+b(x)y|-->a(x)-b(x)y）が、A及びKのk上の自己同型を与えることを示す
・z∈Kに対し、z+s(z), zs(z)∈k(x)を示す（計算で具体的に）
・z∈Aに対し、z+s(z), zs(z)∈k[x]を示す（計算で具体的に）
・z∈KがA上整ならば、s(z)もA上整であることを示す
・z∈KがA上整であることの必要十分条件は、z+s(z),zs(z)∈k[x]であることを示す（必要性は、前段とk[x]が整閉整域であることから、十分性は、zは二次式T^2-(z+s(z))T+zs(z)の根であることから）
・z=a(x)+b(x)yとした時に、上の必要十分条件を書き下し、標数が２でないことなどを用いて整理すると、a(x)∈k[x], b(x)^2・d(x)∈k[x]となることを示す
・d(x)に重根がない時には、条件b(x)^2・d(x)∈k[x]はb(x)∈k[x]を導くことを示す
・よって、d(x)に重根がない時には、Kの中でのAの整閉包はAに一致。特に、Aは整閉

この回答へのお礼

ご解答いただきありがとうございます。

はじめに解き方を追いました。ステップに飛躍がないのですんなり追えたのですが、再度、「問1.9 と同じ考えでできます（d(x)=(x-α)(x-β)(x-γ)とおけば、K=k(x)(√d(x))です。）」という文章をつらつら読んでいて、解き方の背景に

　　　　　　　　　　　　　Z ←→ k[x]
　　　　　　　　　　　　　Q ←→ k(x)
　　　　　　　　　　　 Z[y] ←→ k[x,y]
Z[y]/(y^2-d)≒Z(√d) ←→ A=k[x,y]/(y^2-d(x))≒k[x](√d(x))
　　　　　　　　　　Q(√d) ←→ K=k(x)(√d(x))

という対応に対する洞察があることが分かり、一驚しました。

問1.9 では
　　Z ⊂ Q（分数体） ⊂ Q(√d)
の列が見やすかったのですが、本問では一見
　　k[x,y]/(y^2-d(x)) ⊂ k(x)[y]/(y^2-d(x))（分数体）
の列しか見えず、問1.9 と同じには解けないな、と思っていました。

k[x,y] を k[x] に縮小（'拡大'の反対）して問1.9と同様の列を
　　k[x] ⊂ k(x)（分数体） ⊂ K=k(x)(√d(x))
に見出す、というアクロバットのような洞察はとても私にはできなかったです。
（後知恵で見れば問(1)も誘導になっていますね。）
たいへん勉強になりました。

これからもこちらで質問させていただくことがあると思います。
その際にまたお付き合いいただけましたら、まことにありがたく思います。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/09/09 20:00