No.2ベストアンサー
- 回答日時:
複素平面上での点Pを考えます。
点Pのx成分をa、y成分をbとすると、点Pはz=a+bi,(但しa,bは実数) (1)
と書けますね。
|z|というのは原点から y
点Pまでの距離と定義 | P
されますから、三平方 b| ●(z)
の定理により |
-----------x
0| a
|z|=√(a^2+b^2) (2)
となります。
1)さて、与式の複素数を変形すると
z=(1+ti)/(1-ti)=(1+ti)(1+ti)/(1ーti)(1+ti)
=(1-t^2)/(1+t^2)+2ti/(1+t^2) (3)
となって、実部と虚部に分けることができます(ここでtは実数という条件を使っています。実数でなければどうなるか、考えてください。ヒント:tが虚数なら(3)の式はさらに計算を進めないといけない)。ここまでくれば(1)と同じですから(2)を使って丹念に計算すると
|z|=1 (4)
が得られます(←TRYしてみてください)
2)|z|=1ということは距離OPが1ということですから、複素数zは半径1の複素平面上の円周上にあるということになりますね。したがって(1)より
-1≦a≦1,-1≦b≦1 (5)
となります(←絵を書けば分かる)。
(1)と(3)より
a=(1-t^2)/(1+t^2) (6)
b=2t/(1+t^2) (7)
となりますね。(6)より
t^2=(1-a)/(1+a) (8)
aは(5)の条件を満たすから(8)式の右辺は正となり、したがってtは実数となります(2乗して負であれば虚数となる)。
ついでに(7)より
t^2-(2/b)t+1=0 (9)
これの判別式をDとすると、bは(7)の条件を満たすから
D=(1/b)^2-1≧0 (10)
つまり、tは実根を持つことになり、tは実数であることになります。
この回答へのお礼
お礼日時:2003/11/13 18:59
すごく細かく書かれてあるので、驚きました。とても分かりやすかったです。こういった回答法もあることを知って勉強になりました。本当にありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
z=(1+ti)/(1-ti)
(1)
分母を有利化してください。
実部と虚部に分けて→絶対値をとってください。
いい感じにtが消えて、示されます。
(2)
|z|=|(1+ti)/(1-ti)|=1
⇔|1+ti|=|1-ti|・・・*
tが虚数だとしてt=ki(k≠0、kは実数)・・・**とおいてみる。
*は|1-k|=|1+k|
となるがこれはk=0のときのみ成り立つが**に反する。
よってtは実数。
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