この計算方法をぜひ教えて下さい。

ある問題の途中式なのですが、解法を作成した人にとってはシンプルなものなのかもしれませんが、私にとっては一気にジャンプした格好になってしまい、悩んでおります。
前提条件として　RがLよりもずっと小さい、R << L、とあります。

(L^2 - R^2 (sinθ)^2)^(1/2) ・・・・・(1)

= L { 1-(R/L)^2(sinθ)^2}^(1/2) ・・・・・(2)

= L {1-(1/2)(R/L)^2(sinθ)^2} ・・・・・(3)

この流れは平方根をなくす為の所作とみられますが、(2)から(3)への過程が
分かりません。どういう理由で{ 1-(R/L)^2(sinθ)^2}が平方根から出て、
1-(1/2)(R/L)^2(sinθ)^2 という形に収まったのでしょうか。

何か根本的なことを忘れているような気がするのですが、
はずかしながら、全く分からずにおります。
どうかお教え下さい。お願いします。

ちなみに、私としては
「RがLよりもずっと小さい、R << L」
という条件を考えると、
(2)から、{ 1-(R/L)^2(sinθ)^2} = 1
となると思いましたが、誤りでしょうか。

併せてお教え頂ければと思います。

どうかお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/01/16 11:23

マクローリン展開というものを使うと、

x が小さい場合の f(x) を x の多項式で
近似することができます。
マクローリン展開が何者であるかは、
話が長くなりますから、
微分積分の本を自分で読んで下さい。
高校数IIIの教科書でもよいでしょう。

√(1+x) をマクローリン展開すると、
= 1 + (1/2)x + (-1/8)xx + (1/16)xxx + …
となります。これは、「巾級数」といって
無限次元の多項式ですが、x が小さければ
次数の高い項ほど小さくなります。
無限個の和を、x の次数が低い何個かで
打ち切れば、関数の多項式近似になるのです。

質問の式(3)は、1次までで打ち切って
x = (R/L)2乗・(cosθ)2乗 を代入したものです。
貴方のいう = 1 は、0次(定数項)だけで
打ち切ったことになります。
どちらも正しい近似ですが、近似の精度が違います。

余談ですが、(2)と(3)は = ではなく
≒ で結ぶべきです。
近似であって、等しくはないからです。

この回答へのお礼

ありがとう御座いました。勉強になりました。

お礼日時：2012/01/24 03:13

No.2 回答者： noname#146875 回答日時： 2012/01/15 16:45

(2)をR/L=0の周りで2次まで展開して近似しているのかもしれませんね。

この回答へのお礼

ありがとう御座いました。

お礼日時：2012/01/24 03:13

No.1 回答者： ok-2011 回答日時： 2012/01/15 16:43

テーラー展開というものを使うと，|x| << 1 のとき

(1+x)^m ≒ 1+mx
を示すことができます．

質問の式の場合には，
x = -(R/L)^2(sinθ)^2 ,
m = 1/2
なのです．

>{ 1-(R/L)^2(sinθ)^2} = 1

としてよいかどうかは，必要とされる近似の精度によりますが，たいていの場合，x の（１次の）項は必要です．

この回答へのお礼

ありがとう御座いました。

お礼日時：2012/01/24 03:12