多項式P(x)の係数が全て整数で、最大次数の係数は1として、
任意の素数pでP(n)が割りきれるようなnは全てのpで求められるのでしょうか?
(もとめられなくても任意の素数pに対してnが必ず存在することが示せればいいです)
僕が考えたのは
p以下の自然数は全てpに互いに素なので、
P(x)に0以上p-1以下の自然数をおのおの代入してpで割ったときの余りが全て異なるとすると、
nは全てのpにおいて存在するとできるかなとおもったのですが、余りはこの場合異ならないのでしょうか? ことなるとしたらどう説明できますか?
回答よろしくお願いします
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
多分、
A 「pを素数として、P(x)≡0 mod p が整数解を持つ」
という命題がすべてのpでいえるかどうかということですね。P(x)=xなら、明らかにすべてのpでこの命題は成り立つし、一般にP(x)が一次式なら、どんな一次式でも成り立ちます(以下、多項式はすべて整数係数とし、最高次の係数は1とします)。さらに一般的に、
B 「P(x)がある一次式で割り切れる」
という命題を考えれば、すぐに分かるように、Bは、Aがすべてのpで成立することの十分条件です。これが必要条件かというと、なかなか難しくて、証明も反例も思いつきませんでした。
(二次式の場合)
Aの命題は、古くから研究されていますが、今日でも断片的なことしか分かっていないのではないでしょうか。
例外的に、P(x)が二次式の場合は、ほぼ完ぺきに分かっています。かの大数学者ガウスやオイラーも携わっており、その成果は、今日「平方剰余の法則」として知られています。
さわりだけをいいますと、
C 「pが2以外の素数のとき、x^2-a≡0 mod pが解を持つ必要十分条件はa^((p-1)/2) ≡1 mod pであること」
です。
(x^n-a≡0 mod pの場合)
また、上のようなタイプの場合、解が存在するようなaは、1からp-1までの整数のうち、1/nしかないことが分かっています。
No.6
- 回答日時:
質問文はNo.1さんの仰ってるように意味がはっきりしませんが、とりあえず「ある多項式Qが与えられたとき、各素数pに対してQ(x)=0 mod pが解を持つか?」という問を意図されているものとして参考までに一つ多項式「Q(x)=x^4+1」を挙げておきます。
この多項式はすべての奇素数pに対してmod pで解を持ちません。
以下この説明です。もし解xを持つとすればx^4=-1ですが、平方剰余に関する事実から素数pはmod 4で3でなければなりません。従って、x=x^p=x^{4k+3}=(-1)^k x^3がある整数kに対して成り立ちますが、その結果x^2が±1となりますがこれはx^4=-1に矛盾します。
No.3
- 回答日時:
P( ) は所与で、∀p∈素数,∃n∈自然数,pはP(n)を割り切る
…って読めたけどな。
質問文中のアイデアは、方向は良くて、
多項式は mod p で well-defined (x≡y ならば P(x)≡P(y) てこと)
だから、そうなるような n があれば、それは 0≦n<p の範囲にも在る。
n があるかどうかは、個々の p に対して有限回のチェックで確認できる
ことになる。一般的に言えるのは、そのくらいまで。
任意の P( ) において n が存在するか?といえば、
p=7, P(x)=x^2+1 なんてのが反例になるから、∀P(),∀p,∃n とは言えない。
No.2
- 回答日時:
あなたが何を意図して書いたのかわからないんだけどね.
何がおかしいかというと:
「任意の素数pでP(n)が割りきれるようなnは」と書いてあるから「何か P(n) という多項式があって, これに n を代入すると『任意の素数』p で割り切れる」と読めるわけです. つまり, p が 2 でも 3 でも 5 でも 7 でも (以下略) P(n) が p で割り切れる, そんな n のことかな, ということです.
ところがそのあとに「全てのpで求められるのでしょうか」と来ている. ここを単純に読むと「p が 2 のときはどうか, p が 3 のときは, (以下略)」と, それぞれの p の値ごとに n を求めると思っちゃうんです.
で, 前半で「すべての p に対して」といっているのに後半では「それぞれの p で」といっているから, わけがわからん.
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