図の長さの計算式をお教えください

図のとおりです。長さの計算を教えてください

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/15 16:23

先ほどの回答者です。

（前の質問の内容が分かっているので回答できますが、今回初めて見る人には、ちょっと説明が足りないかもしれません。）

大きい方の四角形は正方形と考えます。
左上から反時計回りに正方形ＡＢＣＤとします。
中心は対角線の交点なので、それをＯとし、
１つの隅の１／４円の中心をＭ，弧の中心をＮとします。
正方形の１辺をｘ，１／４円の半径（隅の正方形の１辺）をｒとします。
求める長さは、１／４円の弧の中心Ｎから、対角線の中心Ｏまでの長さです。
ＡＯ＝√２ｘ／２，ＡＭ＝√２ｒ，ＮＭ＝ｒだから、
ＮＯ＝ＡＯ－ＡＭ＋ＮＭ
＝（√２ｘ／２）－√２ｒ＋ｒ
＝（ｘ／２－ｒ）√２＋ｒ

まとめると、正方形の１辺ｘ，１／４円の半径をｒ（４隅の正方形の１辺ｒ）とすると、
求める長さは、（ｘ／２－ｒ）√２＋ｒ

でどうでしょうか？図を使って考えてみて下さい。

この回答への補足

説明が上手く伝わっていないようで　申し訳ありません。

補足日時：2012/08/15 16:46

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/15 16:34

求める長さをxとおくと

余弦定理を用いて
　20^2＝x^2+2*30^2-2*x*(30√2)cos5°
整理すると
　x^2-60x√2cos5°+1400 ＝ 0
これはxの２次方程式なので解の公式よりxを求めれば良い。

解は２つ出てきますが 大きい方のxが求める長さになります。
　x＝30√2cos5°+√{1800(cos5°)^2-1400}
　 ＝30√2cos5°+10√{18(cos5°)^2-14}
　 ≒61.92016 (mm)

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

計算式の根拠がよくわからず　

回答は　測定してみたら当たりのようですが、計算式

３０　１８００　１４００という数字の　根拠がわからないので　教えてもらえませんか

補足日時：2012/08/15 16:45

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/15 17:04

ANo.1です。

補足について

＞説明が上手く伝わっていないようで　申し訳ありません。

余計なことを書いて、済みません。
図があるので、かなり分かりやすくなったと思います。
もしも、何か問題の意味を取り違えていたら、教えて下さい。

この回答への補足

正方形の中心から　円弧までの距離の計算式なのです。

多分　二番目の書かれている　余弦定理が出てきている答えが当たりだと思うのですけど

たとえば　４５度の長さでしたら　単純に

半径の中心点までの距離は
１００／２＝５０
５０－２０＝３０
３０×１．４１４＝４２．４２
４２．４２＋２０（円の半径）＝６２．４２なのですが

図の通り　４０度の傾きがあります。

もうすこしわかりやすく　解説いただけませんか。

補足日時：2012/08/15 17:18

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/08/15 19:03

ANo.1ANo.3です。

問題の意味を取り違えていたので、再回答します。

図の正方形の左上の部分だけ考えます。左上の点をＡ，その真下の点をＢ，
とすると、ＡＢ＝５０ｍｍ，
対角線の中心をＯ，長さを求める直線と２０×２０の正方形との交点をＭ，
同じ直線と１／４円の弧との交点をＮ，ＭからＯＢにおろした垂線の足をＨとする。
長さを求める直線は、ＯＮです。
２０×２０正方形内の扇形は、中心角４０度で、
半径ＭＮ＝ＨＢ＝ｒということにします。（本当はＭＮの方が１ｍｍほど長い。）
△ＭＯＨは直角三角形で、ＭＯ＝ｘとおくと、
ＭＨ＝３０ｍｍ，ＯＨ＝ＯＢ－ＨＢ＝（５０－ｒ）ｍｍ
ＮＯ＝ＭＮ＋ＭＯ＝ｒ＋ｘです。
ＭＨ＝ＭＯsin４０度，ＯＨ＝ＭＯcos４０度より、
ｘ・sin４０度＝３０，ｘ・cos４０度＝５０－ｒより、ｒ＝５０－ｘ・cos４０度
ｘ＝３０／sin４０度を代入して、
ｒ＝５０－（３０／sin４０度）・cos４０度＝５０－（３０cos４０度／sin４０度）
ＮＯ＝ｘ＋ｒ
＝（３０／sin４０度）＋｛５０－（３０cos４０度／sin４０度）｝
＝（３０＋５０sin４０度－３０cos４０度）／sin４０度
計算すると、６０．９１９１３８…　約６１～６２ｍｍ

でどうでしょうか？　図を確認しながら計算してみて下さい。

この回答へのお礼

どうも　質問の仕方が　悪かったようで　ごめいわくを　おかけしました。

これで今回の　質問は　終了といたします。

お礼日時：2012/08/15 20:25

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/08/15 20:06

#2です。

>図のとおりです。
図を書くなら交点や頂点に記号を振ってくれないと具体的な計算式を書いても
質問者自身が式の理解ができないだけです。記号の割り振りは回答者にさせないで下さい。
「質問は長さの計算式を教えて下さい」とのことで求め方を要求されていなかったので
A#2は記号を使わないで最大限の説明をしました。

>計算式の根拠がよくわからず　
計算式の根拠は、余弦定理を適用し、２次方程式を解いて、示したはず。

>計算式
>３０　１８００　１４００という数字の　根拠がわからないので　教えてもらえませんか
>>　x^2-60x√2cos5°+1400 ＝ 0
>>　x＝30√2cos5°+√{1800(cos5°)^2-1400}
2次方程式の解の公式は中学で習っていると思いますが…

30 は 60の半分の数値です。
1800 は　(30√2)^2=1800　の数値です。
1400は　2次方程式の定数項1400の数値です。
もっと遡れば、余弦定理の式
>>　20^2＝x^2+2*30^2-2*x*(30√2)cos5°
の式からxの方程式を導く過程で出てくる
　2*30^2 -20^2=1800-400=1400　の計算の数値です。

以下、補助線を引き、記号を割り振った添付図を使って説明すると

添付図のように補助線と交点の記号を割り振ります。

△GHPで
　HP=R=20, GH=√2 CH=30√2, PH=x(求める長さ)
　∠HGP=∠AGN-∠PGN=45-40=5（°）
この△GHPに対して
>余弦定理を用いて
>　20^2＝x^2+2*30^2-2*x*(30√2)cos5°　...(★)

＃余弦定理は高校数学で習っていると思います…

(★)の式を　xの方程式の形に
>整理すると
　x^2-60x√2cos5°+1400 ＝ 0

これはxの２次方程式なので解の公式よりxを求めれば良い。
解の公式：x^2+2bx+c=0の解はx=-b±√(b^2-c) を使う(a=1)。

>解は２つ出てきますが 大きい方のxが求める長さになります。
2つの解は図のGP,GP'の長さに対応するので求める方はx=GPの方です。
その結果、GPは
>　x＝30√2cos5°+√{1800(cos5°)^2-1400}
>　 ＝30√2cos5°+10√{18(cos5°)^2-14}
>　 ≒61.92016 (mm)

となります。

#このような計算式の解説を求めるなら、説明に使えるような記号を割り振った図を添付するようにして、求め方の過程も質問するようにして下さい。

この回答へのお礼

このたびは　丁寧な説明をありがとうございました。
質問の仕方が悪かったようでして　ご回答者に　ご迷惑をおかけしました。

今後は　わかりやすい　質問の仕方をいたします。

お礼日時：2012/08/15 20:24