無限積分の問題

次の問題の解き方を教えてください。
【問題】
　＋∞
∫{1/(1+x^2)}dx　　を求めよ
　－∞

次のように解答を進めました
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【解答】
まず、∫{1/(1+x^2)}dxについて考える。
x=tanθとおくと、
dx/dθ=1/cos^2θ　から、
dx=dθ/cos^2θである。

1+x^2=1+ tan^2θ=1+sin^2θ/cos^2θ = 1/cos^2θ

よって、1/(1+x^2)=cos^2θ
したがって、∫{1/(1+x^2)}dx　は、∫cos^2θ*(dθ/cos^2θ)=θ+c=tan^-1x+C
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このようになりました。
しかし、この後、どう無限積分につなげていき、解くべきかわかりません。
cos^2θを、無限積分で解くという形になるのでしょうか。
しかし、例えそうだったとしても、解答がどうなるのかわかりません。

コサインの無限積分は収束して確かに存在する・・・・・・ジャイロ・ツェペリの黄金回転でしょうか？

どなたか、何卒お力添えください。
ニョホホホ。

No.2 ベストアンサー 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2014/06/12 06:38

x = tanθ

とおいて置換積分するのならば、
　∞ = tanθだから、x = ∞ → θ = π/2
-∞ = tanθだから、x = -∞ → θ = -π/2
とすればよかったのに・・・。

こうすれば、
∫[-π/2,π/2](cos^2θ*(dθ/cos^2θ))= [θ][-π/2,π/2] = π/2 - (-π/2) = π
と出たのに・・・。

この回答へのお礼

なるほど！！
そう考えると、簡単に出ますね。
ありがとうございます。

お礼日時：2014/06/12 11:04

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/06/12 01:42

∫[x:-∞→∞]{1/(1+x^2)}dx=[tan^-1x][x:-∞→∞]=π/2-(-π/2)=π