多面体の展開図について

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質問者：east2
質問日時：2001/06/09 14:14
回答数：4件

正６面体や正8面体の展開図は１１通りあることは、分かりますが
正１２面体の展開図は何通りあるのでしょうか。
その総数とできれば求め方を教えていただきたいのですが。

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回答 (4件)

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No.1

回答者： stomachman
回答日時：2001/06/09 18:39

考え方は大筋、以下のようで良いと思うんです。

●多面体をひとつの無向グラフ（幾つかの点を線で繋いだだもの）に対応付けます。
　用語が混乱しないように、グラフの点はnode、グラフの線はarcと呼ぶことにします。グラフはどう変形しようと、nodeとnodeの繋がり方さえ変えなければ同じものと見なされる、ということを憶えて置いてください。
　多面体のそれぞれの面に対応するnodeを作ります。正６面体なら６個のnodeがあるわけです。
　次に、多面体における辺をグラフのarcに対応させます。多面体の面A,Bが一つの辺を共有しているとき、グラフでこれらの面に対応するふたつのnodeの間をarcで結びます。こうすると、正６面体なら１２本のarcができる。正８面体なら8個のnodeと１２本のarc。正１２面体なら１２個のnodeと３０本のarcを持つグラフになるはずです。

●このグラフからarcを幾つか取り除いて、これを木(tree)に変換する。
木とは、
（１）サイクルがない。つまりどのnodeについても、そのnodeから出発して、同じarcを１度しか通らずに元のnodeに戻ってくる道が存在しない。要するにループになっていない。
（２）連結である。つまり、どの二つのnodeに注目しても、それらを繋ぐ経路がある。要するにひとまとまりに繋がっていて、２つ以上のグラフに別れていない。

●「木を作る際にグラフから取り除いたarc」に対応する多面体の辺を切り開いてやれば、展開図が得られる訳です。だから、このような木が何通り作れるかを考えればよい。

●ただし、対称なものは除いて数えなくちゃいけない。回転させたり鏡に映したりしておなじになるものは同一としなくてはならない。
正多面体ではどの面も区別が付かない訳ですから、グラフのnodeに名前を付けずに、どのノードも特別視しないことにすれば良い。こうすれば木のnodeの繋がり方だけで分類が決まります。
（たとえば直方体の展開図というのだと、nodeを区別する必要があるから正６面体より種類が多くなっちゃいますね。）

●上記の話でちょっとだけ怪しい所がある。展開図にしたときに、自分自身と重なりが生じないかどうか。それを保証する証明ができていていません。しかしま、大概ダイジョブそうだ、という予想はつきます。

●かくて、話はグラフ理論の問題に変換されました。

おしまい。どうも中途半端ですいませんねえ。

この回答への補足

さっそくの回答ありがとうございます。

「このような木が何通り作れるかを考えればよい」ということで
ここは実際に数えてみるしか方法がないのでしょうか。
対称性に注目して、展開図が点対称になるものを数えてみましたが
それだけで220通りという結果（こんなにあるのか？ちょっとあやしい）
を得ましたが、あるいは他にまだあるのでしょうか。グラフ理論もほとんど
知らない素人です。

補足日時：2001/06/10 22:05

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No.2

回答者： stomachman
回答日時：2001/06/11 01:18

●220通りもあるんかいな？どうやって数えたんでしょうか。

同じ要領で6面体や8面体をやってみると数が合いますでしょうか？

　それとは別件として、もう一回よく考えたら、前回の回答はちと、おかしいという事に気が付きました。
●やっぱり、最初に数え上げる際には、グラフのnodeは番号なり名前なり付けて区別しなくちゃいけません。たとえばあるnodeから出ている５本のarcのうち、２本を残すことを考えると、その残す２本の先にあるnodeは区別しなくてはならない。１２面体上で言うなら、５角形の５本の辺の内２本を残す場合に、隣り合う２本を残すか、隣り合っていない２本を残すか、の区別が必要であるということです。
●従って、前の回答の数え方では、少なく数えすぎるということになっちゃいます。毎度の事ながら間違えました。ごめんなさい。

●ともあれ、まず正５角形を１個持ってくる。これにもう１個の５角形を辺同士くっつけるやり方は1通りしかない。
　さらにもう１個くっつけるやり方は２通りある（裏返しは同じものとみなすから）。ですから３個の面が繋がった形というのが２通りある。これをグラフで描くと、正１２面体のグラフの一部になっている（部分グラフである）。
　４個目の５角形をくっつけて、しかも正１２面体のグラフの部分グラフになるようにするやり方は（対称なものを除いて）何通りあるか。
　４個目を、空いている辺のどれにくっつけても良いというわけではありません。くっつけて良い場所はどこか、これは正１２面体のグラフを見れば分かる。つまり「正１２面体のグラフの部分グラフになるようにする」というのは展開図として正しいことを保証する条件である訳です。
　また、たとえば「3個目と4個目はくっつける順番が入れ替わってるだけで、4個くっついたものとしては同じになる」という場合もあるから、4個目をくっつけたものを全部数え上げた段階で、重複するものが無いかチェックする必要があります。
　同様に、５個目、６個目、...という風に頑張る。こうやって木を構成していく訳です。
　どんどん場合分けが増えていくので、計算機のお世話にならないととても数え上げられないでしょう。