マクローロンの定理を使った近似値計算の方法について質問がございます。

文系の大学1年生です。
添付させていただいた資料で、sinの計算とcosの計算で質問がございます。
(すみません、cosの方の資料が添付できませんでした。。)

まずsinの計算なのですが、
これはn=1の場合ですが、(赤で囲んだ部分)f3(0.5)=0.5−(0.5)3乗/3! となっております。
これのどこがわからないかというと、「なぜ0.5−(0.5)3乗/3!」となるのかが
わかりません。例えばn=2だったなら、3だったならどうなるのか。。。

教えていただきたく思います。

cosも同じ部分が疑問なのですが、n=2のとき、
f4n(0.2)=1−(0.2)2乗/2+(0.2)4乗/4!となっています。
これも「なぜ1−(0.2)2乗/2+(0.2)4乗/4!」なのか、
例えばn=3,4の時はどうなるのか。。。を教えていただければ幸いです。

A 回答 (5件)

はあ?


マクローリン定理が分かってないですよ。
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!・・・
cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!・・・
このxに数値を代入しただけですよ。
分かりますか? sinにはx^2, x^4の項はありません
cos の x, x^3の項はありません。
もっと勉強しましょう。
    • good
    • 0

質問に答える前に、何をしているのか整理しておきます。



マクローリンの定理によれば

sin x = sin(0) + sin(π/2) x + sin(2π/2) x^2 + sin(3π/2) x^3 /3! + … + sin(mπ/2) x^m /m! + R(m,x)
R(m,x) = sin(cx+(m+1)π) x^(m+1) /(m+1)! , 0<c<1

と、こんな感じになります。

x = 0.5 とおくと

sin(0.5) = sin(0) + sin(π/2)・0.5 + sin(2π/2)・0.5^2 + sin(3π/2)・0.5^3 /3! + … + sin(mπ/2)・0.5^m /m! + Rm
Rm = sin(0.5c+(m+1)π)・0.5^(m+1) /(m+1)! , 0<c<1

です。

sin(0.5) = 近似値 + Rm

という形で書かれています。Rm は誤差ですが、この絶対値をこれよりずっと易しい式で評価します。

|Rm| < |0.5|^(m+1) /(m+1)!

この式の右辺を Hm とすると、Hm は単調減少です。つまり、m が大きくなれば誤差の範囲は絞れていくということです。

さて、sin(kπ/2) は k が偶数のとき0になるので、近似値の項はひとつ置きに消えます。これによって次のようなことが起こります。

m=3
sin(0.5) = 0.5 + 0.5^3 /3! + R3 、|R3| < H3 = 0.00260416666667...

m=4
sin(0.5) = 0.5 + 0.5^3 /3! + R4 、|R4| < H4 = 0.00026041666667...

つまり、近似値は同じなのに奇数次数で切るよりも次の偶数次数で切る方が誤差の範囲をより絞れるということが起きるのです。そういうわけなので、近似値を偶数次で切ることを採用して

sin(0.5) = 0.5 + 0.5^3 /3! + … + sin((2n+2)π/2)・0.5^(2n+2) /(2n+2)! + R(2n+2)
R(2n+2) < |0.5|^(2n+3) /(2n+3)!

にするほうが優れているわけです。

練習問題は、H(2n+2) < 0.001 を満たす最小の n を見つけて、最小の計算量で、誤差を千分の一に収める近似値を求めるものでしょう。


それで、質問(一部無視)の答えですが、こうなります。

n=2
sin(0.5) = 0.5 - 0.5^3 /3! + 0.5^5 /5! + R6
|R6| < H6 = 0.0000015500992…

n=3
sin(0.5) = 0.5 - 0.5^3 /3! + 0.5^5 /5! - 0.5^7 /7! + R8
|R8| < H8 = 0.0000000053822…



cos(0.2) も同様で

cos x = 1- x^2 /2! + x^4 /4! - … + cos(nπ) x^(2n) /(2n)! + R(2n+1,x)
R(2n+1,x) = cos(cx+(n+1)π) x^(2n+2) /(2n+2)! , 0<c<1

を使い、
R(2n+1) = cos(0.2c+(n+1)π) 0.2^(2n+2) /(2n+2)!
H(2n+1) = 0.2^(2n+2) /(2n+2)!
とおくと、こちらも n が大きくなるにつれて H がどんどん小さくなっていきます。

n=3
cos(0.2) = 1 - 0.2^2 /2! + 0.2^4 /4! - 0.2^6 /6! + R7
|R7| < H7 = 0.000000000063492063492063…

n=4
cos(0.2) = 1 - 0.2^2 /2! + 0.2^4 /4! - 0.2^6 /6! + 0.2^8 / 8! + R9
|R9| < H9 = 0.000000000000028218694885...

cos(0.2) = 近似値 + R の形で書いてます。
計算ミスがあるかもしれないロン。
    • good
    • 0

マクローリン展開は、関数を



f(x)≒fn(x)=a0+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+a4・x^4+ ・・・an・x^n

というように多項式で近似するものです。

関数fのm階微分を f'[m](x) で表わすとすると
f=fnとすれば

f'[m](0)=m!am

なので

f(x)≒∑[k=1~n](f'[k]/k!)x^k

n=3 までの近似では

f'[0](0)=0
f'[1](0)=1
f'[2](0)=0
f'[3](0)=-1

なので

f(x)≒x-x^3/3!

と言うのが基本的な考え方。

以上の説明は厳密さがまるでありませんが、
発想はこんなものです。

文系なら十分かも。

尚 n=1 ってなんだか不明です。
    • good
    • 0

要するにマクローリン展開がわかってませんね。



y=f(0)+Σ(k=1,n)[f^k(0)/k!]x^k+[f^(n+1)(ξ)/(n+1)!]x^(n+1) (0<ξ<x)   (1)

ここでf^k(0)はf(x)のk階微分のx=0における値を示します。

最後の項はここでは無視していいでしょう。

f(x)=sinxのとき、f^k(0)はkが偶数の時0、奇数の時±1(交互に現れます。)、f(0)=0です。整理すると(1)は

y=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+.....            (2)
となります。

>これはn=1の場合ですが、(赤で囲んだ部分)f3(0.5)=0.5−(0.5)3乗/3! となっております。
これのどこがわからないかというと、「なぜ0.5−(0.5)3乗/3!」となるのかが
わかりません。例えばn=2だったなら、3だったならどうなるのか。。。

あなたの記法は(1)においてn=3まで取った場合をfn(0.5)と書いています。よって

fn(x)=f(0)+Σ(k=1,n)[f^k(0)/k!]x^k
簡単に言うと(2)では2項目まで取っています。

(1)の導き方はf(x)が多項式で表せると仮定して、その多項式の係数を尾部を使って求めているということです。

f(x)=a0・x+a1・x+a2・x^2+a3・x^3+....

容易に

f(0)=a0
は解りますね。

両辺を微分すると
f'(x)=a1+2a2x+3a3x^2+...

a1=f'(0)

がわかりますか
このようにして係数a0,a1,a2,....を求めたものです。


cosxも全く同様で

y=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+.....

となります。
    • good
    • 0

マクローリン展開は、理解していますか?

    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

今、見られている記事はコレ!

  • 数学は日常生活に役立っているのか?専門家に聞いてみた

    3月14日は、1997年に財団法人日本数学検定協会が制定した数学の日である。あなたは学生の頃、数学は得意だっただろうか? 筆者のように得意ではなかった人なら、「将来、これが何の役に立つのだろう……」と四苦八苦...

  • この問題解けますか?「1・1・5・8」を使って10を作るパズル

    テンパズルというのをご存知でしょうか。この名前は知らなくともやったことのある方も多いと思いますが、どういうものかと言いますと、4つのひと桁の数字を足したり引いたり掛けたり割ったりして10にする、というも...

  • 数学は実生活で役立つのか

    学校で学んだ事柄が後々の仕事に役立ったなどという話は、よくあるケースですが、学んでいる最中はなかなか気づかないものです。子どもから「数学ってなんの役に立つの?」と聞かれて、数学が苦手だった親はどう答え...

  • 無駄に覚えている数字ってどのくらいあります?

    覚えたくても覚えられない数字がある一方で、なんとはなしに記憶した数字がずっと頭に残っているケースもあります。くっきりと覚えてはいるものの「多分、これ一生使わないんだろうな…」と思っている数字、今日はそ...

  • あなたも挑戦!?バカ田大学入試

    大人気ドラマ「ガリレオ」、観ている方も多いのではないでしょうか。学生時代に数学が苦手で、もう数式なんて見たくない!と思っていても、さらさらと難解な数式を操る湯川先生(福山雅治さん)の姿を見るとかっこい...

おしトピ編集部からのゆる~い質問を出題中

お題をもっとみる

このQ&Aを見た人が検索しているワード


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

このカテゴリの人気Q&Aランキング

おすすめ情報

カテゴリ