自然数をほかの自然数であらわす

8以上の自然数は、5と3の倍数で表されるそうですが、これを証明するためにはどうしたらよいのでしょう？
5x+3yですべての自然数を表現できればいいのですよね。数学的帰納法を用いればできる気がしますがうまく証明できません。
どなたかやり方がわかる方、ご教授ください。よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： keyguy 回答日時： 2004/09/01 00:16

（－１）・５＋２・３＝１

１・５＋（－１）・３＝２
０・５＋１・３＝３
（－１）・５＋３・３＝４
１・５＋０・３＝５
０・５＋２・３＝６
２・５＋（－１）・３＝７

ｎを自然数として
ｎ・５＋ｎ・３＝ｎ・８
これを上の式に辺々足すと

ｎ・５＋ｎ・３＝ｎ・８
（ｎ－１）・５＋（ｎ＋２）・３＝ｎ・８＋１
（ｎ＋１）・５＋（ｎ－１）・３＝ｎ・８＋２
ｎ・５＋（ｎ＋１）・３＝ｎ・８＋３
（ｎ－１）・５＋（ｎ＋３）・３＝ｎ・８＋４
（ｎ＋１）・５＋ｎ・３＝ｎ・８＋５
ｎ・５＋（ｎ＋２）・３＝ｎ・８＋６
（ｎ＋２）・５＋（ｎ－１）・３＝ｎ・８＋７

５と３の係数は０以上になる事に注意

No.5 回答者： graduate_student 回答日時： 2004/08/31 20:40

2000年の阪大前期の数学[3]に似ていますね.

数学的帰納法ではややこしいだけです.
表を書いてみるのはいかがですか？

一番上に3,6,9,12,15…
一番左に5,10,15,20…
のように書きます.

次に対応する空白に5x+3yの値を書いていきます.
つまり，6と10に対応する箇所には16と書きます.
表を埋めていき，横方向に数字を見てみると，3ずつ増えているのがわかると思います.
表中に8,9,10の数字が出てきていますね？
出てきていれば，あとは3ずつ増やした11,12,13も必然的に出てきて，8以上の全ての自然数について議論できます.

8以上は5x+3yで表すことができますね.
ax+byの形は有名なので知っている方がいいです.

No.4 回答者： 8942 回答日時： 2004/08/31 15:55

　素人ですので詳しく説明できませんが、

　8～16までの自然数を5x+3yで表せる事を示せば
後の自然数は同様に示せるんじゃないですか？

No.3 回答者： gosuke32 回答日時： 2004/08/31 15:36

３通りに場合分けをします。

８以上の自然数をｎとして、(1)n=3m,(2)n=3m+1,(3)n=3m-1の３通り（いずれもm≧3）で場合分けをします。それから帰納法で証明します。
(1)の場合は３の倍数のみで表されているので成立。
(2)の場合
　ア）m=3のとき
　　　n=3×3＋1=10=5×2　で成立。
　イ）m=kのとき成立するとしてm=k+1のとき
　　　n=3(k+1)+1=3k+4
m≧3から
　　　n=3(k-2)+3×2+4=3(k-2)+5×2
　　　よって成立。
(3)の場合
　ア）m=3のとき
　　　n=3×3－1=8=3+5　で成立。
　イ）m=kのとき成立するとしてm=k+1のとき
　　　n=3(k+1)-1=3k+2
m≧3から
　　　n=3(k-1)+3+2=3(k-1)+5
　　　よって成立。
(1)(2)(3)より、８以上の自然数は５と３の倍数の和で表せる。

No.2 回答者： arukamun 回答日時： 2004/08/31 15:26

ヒント

8 + 15n = 5*1 + 3*1 + 15n = 5*(n+1) + 3*(n+1)
9 + 15n = 5*0 + 3*3 + 15n = 5*(n+0) + 3*(n+3)
10 + 15n = 5*2 + 3*0 + 15n = 5*(n+2) + 3*(n+0)
11 + 15n = 5*1 + 3*2 + 15n = 5*(n+1) + 3*(n+2)
12 + 15n = 5*0 + 3*4 + 15n = 5*(n+0) + 3*(n+4)
13 + 15n = 5*2 + 3*1 + 15n = 5*(n+2) + 3*(n+1)
14 + 15n = 5*1 + 3*3 + 15n = 5*(n+1) + 3*(n+3)
15 + 15n = 5*3 + 3*0 + 15n = 5*(n+3) + 3*(n+0)
16 + 15n = 5*2 + 3*2 + 15n = 5*(n+2) + 3*(n+2)
17 + 15n = 5*1 + 3*4 + 15n = 5*(n+1) + 3*(n+4)
18 + 15n = 5*0 + 3*6 + 15n = 5*(n+0) + 3*(n+6)
19 + 15n = 5*2 + 3*3 + 15n = 5*(n+2) + 3*(n+3)
20 + 15n = 5*4 + 3*0 + 15n = 5*(n+4) + 3*(n+0)
21 + 15n = 5*0 + 3*7 + 15n = 5*(n+0) + 3*(n+7)
22 + 15n = 5*2 + 3*4 + 15n = 5*(n+2) + 3*(n+4)

No.1 回答者： ranx 回答日時： 2004/08/31 15:16

(1)　８以上の自然数が 8+8n+k (0≦k＜8)で表されることを示します。

(2)　n=0のケースについて、k=0からk=7まで一つずつ確かめます。
(3)　n=aで成り立つ時、n=a+1でも成り立つことを示します。