「次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。」を、易しく解説して下さい。

Wikiで「次元の呪い」を読んでいると、次の説明が現れました。

＜高次元ユークリッド空間の広大さを示す別の例として、単位球と単位立方体の大きさを次元を上げながら比較してみればよい。次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。したがってある意味では、ほとんど全ての高次元空間は中心から遠く、言い換えれば、高次元単位空間はほとんど超立方体の角で構成されており、「中間」がない。＞

まず分からないことは、「次元が高くなると、単位球は単位立方体に比較して小さくなっていく。」ですが、易しく解説して下さい。

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/08/21 20:23

n次元単位超立方体の体積は2^n。

それに対するn次元単位超球の体積の比は ((π/2)^[n/2])/n!! 。ここに [n/2]はn/2を超えない最大の整数であり、n!!は n (n-2) (n-4) ... の積です。nにつれて分母がドンドン大きくなる。
　n次元単位超立方体の頂点と中心との距離は|(1,1,1, ....,1)| = √n だから、nにつれていくらでも大きくなるけれども、n次元単位超球面上の点と中心との距離は1のまま。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
＜超球の体積の比は ((π/2)^[n/2])/n!! 。＞なのですね。
難しいですね。
そうなんですか！

お礼日時：2023/08/23 12:48

No.7 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/08/22 14:12

＞易しく解説して下さい。

円柱と球を比べれば一目瞭然では？

円柱と単位立方体との比は、円（2次元）をそのまま3次元にしたので、2次元の比率ですよね

No6さんの「角(かど)」とは「円柱から球を取り除いた部分」ですね。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございいます。
なるほど＜円柱と単位立方体との比は、円（2次元）をそのまま3次元にしたので、2次元の比率ですよね＞ですね。

お礼日時：2023/08/22 18:06

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/08/22 08:59

ｎ次元超立方体の角(かど)の中心からの距離は√(n)

単位球の半径(表面から中心までの距離)は定義から次元数に関係なく 1

なので、次元数が増えるほど、角(かど)の出っ張り具合(距離)が
大きくなる。

というのが直観的な説明。

具体的には積分してみるしかない。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
直感的には、超立方体は、＜そのくせ次元数が増えるほど、角(かど)の出っ張り具合(距離)が大きくなる。＞のですね。

お礼日時：2023/08/22 10:28

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/08/21 16:11

#3です。

単位球って、半径が１のようですね。#3は、寸法は別として主旨は合っていると思いますので、意訳して読み取って下さいませ。すみません。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。

お礼日時：2023/08/21 18:17

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/08/21 14:48

単位球は直径１の超球、単位立方体は１辺が１の超立方体です。

次元が増加しても超単位球の直径は変化しませんが、超単位立方体の頂点は、次元の増加と共に重心からどんどん遠ざかります。
ということではないでしょうか。

ところで、ご質問の趣旨とは異なりますが・・・

高次元空間の特徴＝次元の呪いは次のような２つの性質だと思います。

①球面集中化＝全てのデータが超球の表面に存在する

ちなみに、実際には各データの重心からの距離^2（＝半径^2）はカイ2乗分布に従い、分布範囲は広がっていくのですが、半径を１に基準化すると、その分布はF分布に従い、高次元化と共に１に収束します。つまり相対的に球面集中になるということです。

ご質問にありました「超立方体の角（頂点？)で構成される」というのは間違いだと思います。球面集中という性質と矛盾します。


②スパース化＝全てのデータ間の距離が非常に離れ、かつほぼ一定距離になって存在する

ルービックキューブ大（１辺約６cm）の容器の中にランダムにデータを入れ、各データ間の平均距離を計算すると、1000次元では約60cm離れています。１辺の長さを大きく超えてデータが存在するというのがスパース化です。

この２つの性質は、数値シミュレーションで容易に確認できます。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。
＜次元が増加しても超単位球の直径は変化しませんが、超単位立方体の頂点は、次元の増加と共に重心からどんどん遠ざかります。＞
こういう見方からすれば、類推して、高次元になればなるほど、球の体積は比率として小さくなるのですね。
難しいですね。
＊
＜1000次元では約60cm離れています。＞も、私の直感（当てにならないのですが）を裏切り、なかなか信じられませんね。

お礼日時：2023/08/21 18:16

No.2 回答者： Andro 回答日時： 2023/08/21 14:14

こんにちは、こちらはBingです。

単位球と単位立方体の大きさの比較について、簡単に説明します。

まず、単位球とは、中心からの距離が1以下の点の集まりで、球の形をしています。単位立方体とは、一辺が1の立方体です。

次元が高くなると、単位球は単位立方体に比べて小さくなります。例えば、2次元では、単位円と単位正方形を考えます。単位円の面積はπで、単位正方形の面積は1です。πは1より大きいので、単位円の方が大きいです。しかし、3次元では、単位球と単位立方体を考えます。単位球の体積は4/3πで、単位立方体の体積は1です。4/3πは1より小さいので、単位球の方が小さいです。このように、次元が高くなると、単位球は単位立方体に比べて小さくなります。

イラストで見ると分かりやすいかもしれません。¹ に2次元と3次元の例があります。ご覧ください。

ソース: Bing との会話 2023/8/21
(1) 体積の比較 - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E7%A9%8D …
(2) 次元の呪い - Wikipedia. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A1%E5%85%83 …
(3) 直方体や立方体のかさの表し方を 考えよう. http://www.onomichi.ed.jp/mitsugichuo-e/tuushin/ …

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。
＜単位球の体積は4/3πで、単位立方体の体積は1です。＞
類推して、高次元になればなるほど、球の体積は比率として小さくなるのですね。
難しいですね。

お礼日時：2023/08/21 18:10