ポアソン分布の連続版（？）

イベント発生回数を何らかの確率分布で表したく思います。
このイベントの回数には有理数（小数値）を用いたく思っています。

整数でない背景としては1日に発生する問い合わせの回数をイベントとすると、この1日の営業時間（問い合わせの受付時間）が日よって異なるので、例えば営業時間の平均1日=8時間あたりでのイベント発生回数に揃えたいためです。

一般化ポアソン分布などというものもあるようですが、確率変数にイベント発生回数をとる場合、有理数を許容できる適した分布はあるでしょうか。
そもそも平均時間で揃えるべきでないとか、別の切り口があるなど、前提部分に関するご指摘も歓迎です。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/19 08:49

[1] ポアソン分布は「単位時間(この場合8時間)あたり平均λ回生じる事象が、同じ単位時間のうちにk回生じる確率」の分布ですから、λはもちろん整数に限らない。

> 問い合わせの回数をイベントとする

なら、「トータルT単位時間の間にイベントがN回発生した」という観測をしたらλ=N/Tのポアソン分布でとりあえず近似できそうな感じですね。素直に使えば良いだけです。

[2] さて、

> このイベントの回数には有理数（小数値）を用いたく

とお考えになったのは、もしかして「イベントの回数」という言い回しの意味が複数あるのを混同なさったのではないかな。
(1) 「単位時間あたり平均λ回生じる事象」という時の「イベントの回数」
(2) 「事象が、単位時間のうちにk回生じる確率」という時の「イベントの回数」
もちろん、(1)のλは整数になるとは限らないが、(2)のkは整数。

[3] ところで、もしλが数十以上にもなるのなら、正規分布でも大抵の目的には十分です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
> もしかして「イベントの回数」という言い回しの意味が複数あるのを混同なさったのではないかな。
そのようですね。(1)には主に小数値の例、(2)はすべて整数値の例しか見たことがないにもかかわらず、営業時間を平均することに囚われて混同したようです。

> もしλが数十以上にもなるのなら、正規分布でも大抵の目的には十分です。
残念ならが現状では多くて数回程度かなといったところです。ありがとうございます。

> λ=N/Tのポアソン分布でとりあえず近似できそうな感じですね。
一応しっかりやろうとすると、例えば一般化線形モデルでポアソンを仮定する感じでしょうか？　営業時間が異なっても、ある営業時間の条件付き平均で見てみるイメージは誤っています？

お礼日時：2024/02/20 02:00

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2024/02/20 15:50

> 営業時間が異なっても、ある営業時間の条件付き平均で見てみるイメージ

たとえば過去1年間の通算営業時間t(hour)と、過去1年間のイベントの総数n(回)がわかれば、1時間あたりのイベントの回数がわかりますね。これをa(回/時間)としましょう。
　で、「8時間営業する日に何件発生するかな？」というのなら、λ = 8a のポアソン分布。「10時間営業する日には何件発生するかな？」というのなら、λ = 10a のポアソン分布。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
このケースについては理解してきました。
ですがまだ別ケースになると迷走しそうです。理解を深めないと。。

お礼日時：2024/02/23 22:29

No.2 回答者： qas2021 回答日時： 2024/02/19 06:16

イベント回数を小数で考える必要はないでしょう。

問い合わせ件数は営業時間に比例すると考えるのが、一番シンプルです。
（時間帯や曜日等によって変わることもあり得ますが）
この場合、単位時間の平均問い合わせ件数を λ とおくと、営業時間 t の間にある問い合わせ件数が x となる確率は
f(x) = (λt)^x・exp(-λt)/x!　（x = 0, 1, ･･･）
となります。
λ は、問い合わせ件数の合計を営業時間の合計で割れば推定できます。
ポアソン分布に従っているかどうかは、適当な時間間隔（例えば８時間毎）に区切って問い合わせ件数を集計して、プロットしてみれば良い。

この回答へのお礼

確かに。
ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/02/19 22:08

No.1 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2024/02/19 00:35

ベイズの世界では、

二項分布→ベータ分布
ポアソン分布→ガンマ分布
多項分布→ディリクレ分布

つまり、ポアソン分布のパラメータλは自然数のため離散的ですが、λをガンマ分布に従うと仮定するのです。

ベイズでは、このように連続関数に置き換えて積分しますが、参考になりますでしょうか。

ネットを探せば出てくると思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ガンマ分布f(x)を用いた場合、確率変数xはイベントa回分発生の間隔に相当すると考えていました。今回はイベント回数をxにとれればと思っていましたので、適用可能性はないと見込んでいましたが‥そうでもないということでしょうか。

お礼日時：2024/02/19 22:04