アイゼンシュタイン

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アイゼンシュタインの定理の問題です。

アイゼンシュタインの定理の問題です。 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+‥‥+an∈Z[x]がある素数に対して、a0は素数でなく、a1〜anは素数で、p^2はanでないとき、f(a)はZ[x]で既約になることを示してください。…

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アイゼンシュタインの判定条件

…fn(x)=Σ[j=0,n]x^jについて n=偶数なら既約、(アイゼンシュタインの判定条件を用いて) n=奇数なら可約、(因数分解を用いて) であることを証明したいのですがわかりません。 括弧書きをしまし...…

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アイゼンシュタイン判定法

…f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 がQ[x]の既約多項式であることを示したいのですが g(x)=f(x+1)と置くことで導けるらしいのですが、 具体的に使い方がわかりません。 どのように使えばいいのでしょうか。…

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英語圏ドイツ語圏の古典数学論文の検索方法教えて!

…英語圏で論文のタイトルを入力しましたが出てきませんでした。 いろいろキーワードを変えて行いましたが初歩的な事項でとどまります。 対象は数論で関連することはたくさん出てきます...…

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多項式の既約性

…次の多項式がQ上既約であることを示せ。 (1) x^5 + 5x^3 + 10 (2) x^(p-1) + x^(p-2) + … x + 1 ( p は素数) (3) x^4 + 1 (4) x^6 + x^3 + 1 以上です。 (1)はアイゼンシュタインの定理を用いれば示せたのですが...…

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大学の数学の環の問題です。教えてください。

…Q:有理数体 Q[x]:Q上の多項式環 問題 次の多項式f(x)がQ[x]で既約かどうか調べよ。 (1)n>1で、ある素数pについてpはaの約数、p^2はaの約数ではないとき、f(x) = a - x^n (2)f(x) = 3 + 9x -12x^3 + x^4 (3)...…

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F(x)=x^4+nが整数の範囲で因数分解される為の必要十分条件

…n を自然数とする時、 F(x) = x^4 + n が整数の範囲で因数分解される為の n に関する必要十分条件はどうなるのでしょうか? F(x)=0とすると、 x=n^(1/4)ξ、-n^(1/4)ξ~、-n^(1/4)ξ、n^(1/4)ξ~ (ただし、ξ=e^...…

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あるファンタジー小説のタイトルを教えて下さい。

…主な登場人物が 1.編み物を司る(?) 良い・女魔法使い 2.鉄、金属を司る悪い・男魔法使い 3.(2)に指輪の力で使役されている男 4.(2)のたねを宿した(3) と(1)の子供 というファンタジーをご存じ...…

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オペレッタ「こうもり」の歌詞

…オペレッタ「こうもり」第二幕の通称《シャンパンの歌》の日本語訳が、意訳を通り過ぎてわけのわからないものになっています。 それでも ORLOFSKY と ADELE の歌詞は酒宴の席の盛り上がりを...…

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ラマヌジャンのタクシー数に関する級数

…3乗数の和で2通りに表される最小の数は、 1729=12^3+1^3=10^3+9^3 ⇔ 級数(Σ[n=1,∞]x^n^3)^2 の係数でが2である項の最小の次数は1729 ところで、Σ[n=1,∞]x^n^3という級数に関して、研究されていること...…

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代数的独立性の証明

…ファンデルモンドによる円分多項式の解法を考えていて途中でつっかえているところがあるのでよろしくお願いします。 pを素数として、ωを1の非自明なp乗根のひとつとします。 またx_1〜x_...…

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Dedekindのη関数変換公式

…q=exp(2πiz)として η(z) = q^(1/24) Π_n=1^∞ (1-q^n) θ(z) = Σ_n=1^∞ χ(n) q^(n^2/24) ここでχ(n)はmod12の原始的偶指標で 1 (n ≡ ±1 mod 12のとき) -1 (n ≡ ±5 mod 12のとき) 0 (その他) とするとEulerの五角...…

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代数の体について

…次のQ上の多項式の解を求めよ。 また、最小分解体Kの拡大次数[K:Q]を求めよ。 但しQは有理数全体の集合を表す。 (1) x^3 + 3x + 1 (2) x^3 - 3x + 1 (3) x^3 + x^2 - 2x - 1 以上です。 解を求めること...…

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有限次拡大について

…(1) 任意の自然数nをとる。 [K:Q]=nとなる有限次拡大K/Qの例をあげよ。 (2) 標数0の体K上の既約多項式は、重根をもたないことを示せ。 この2問がどうしてもわかりません。 わかる方いたらよ...…

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ドイツの鉄道について

…こんにちは牧野と申します。 今月ドイツ・チェコへの旅行を計画しているのですが、プラハからミュンヘンへの移動を鉄道で考えています。 ドイツ国内は格安の週末切符を使用するつもり...…

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最小分解体と拡大次数について

…f(X)=(X^4+X^2-6)(X^3-7)∈Q[X]とする。(C[X]においては、f(X)は一次式に分解する。) f(X)のQ上の最小分解体Kとその拡大次数[K:Q]を求めよ。 Kはなるべくわかりやすく与えること。 ちなみに定義として ...…

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フェルマーの最終定理(オイラーの証明について)

…a^2+3b^2=(a+√3ib)(a-√3ib)=立方数 ここで a+(√3) ib=(t+√3iu)^3 a-(√3) ib=(t-√3iu)^3 フェルマーの最終定理のn=3の場合の証明の途中で上記の様な推論が見られるのですが、これが成り立つ理由はどう...…

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最小分解体

…f(X)=X^4-7∈Q[X]として、f(X)のQ上の最小分解体をLとする。 (1) 拡大次数[L:Q]を求めよ。 (2) K=L∩Rとする。 Kを分かりやすく記述し、L/Kが2次拡大であることを示せ。 K≠K' だが K`=〜K'(同...…

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オペレッタ「こうもり」の乾杯の歌

…今朝ラジオで聞きました。 ルチア・ポップ、ヘルマン・プライだから当然原語バージョンです。 でも「乾杯の歌」の皆で歌う部分が、日本語で「カンパイ、カンパイ」 と聞こえてしまう...…

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多項式の整除

…X^96+X^95をX^4+X^3+X^2+X+1で割った余りを求めたいのですが, 筆算で行えば、途方にくれるような作業で、答えは出ると思いますが、もし 簡単に、余りを求める方法があれば教えてください。 お...…

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